preimagen de un conectado bajo un mapa de la cubierta tiene representación exclusiva en rodajas

Question

Deje $p:E\to B$ una cubierta mapa. Supongamos que $U$ es un conjunto abierto de $B$ que es uniformemente cubierto por p. Mostrar que si $U$ está conectado, entonces la partición de $p^{-1}(U)$ en rebanadas es único.

No tengo idea de lo que puedo hacer aquí. Bien ... vamos a tomar una representación de la preimagen en los distintos rodajas $$ \coprod\limits_{\alpha \en Un} {V_\alpha } = p^{ - 1} \left( U \right) $$ since $ V_{\alpha} \cong U $ each $ V_{\alpha}$ is in particular connected. Maybe I have to consider the connected components of $ \coprod\limits_{\alpha \en Un} {V_\alpha } = p^{ - 1} \left( U \right) $ (well... I think that the components are just $V_{\alpha}$, pero no estoy completamente seguro), tal vez eso ayude

Answer 1

Considere la posibilidad de la cubierta del espacio de $\widetilde X= \mathbb R$ $X=S^1$ $p:\mathbb R \to S^1,r\mapsto(\cos(2\pi r),\sin(2\pi r))$ como la cobertura de mapa. La fibra de $(1,0)$$\mathbb Z$. Deje $U$ el de apertura desconectado barrio de $(1,0)$ que es la desunión de la unión de dos arcos de $U_1=\{(x_1,x_2)\in S^1\mid x_1>0\}$$U_2=\{(x_1,x_2)\in S^1 \mid x_1<0\}$. A continuación, la preimagen es distinto de la unión de abrir los intervalos de longitud de $\frac12$ centrada en los puntos de $\frac12\mathbb Z$, decir $J_n=(\frac n2-\frac14\ ,\ \frac n2+\frac14)$. Para un conjunto abierto $V_\alpha$ que se supone que se asignan a $U$, usted puede tomar $V_\alpha=J_{2n}\cup J_{2n+1}$, pero también se podría tomar $V_\alpha=J_{2n}\cup J_{2n-1}$ $V_\alpha=J_{2n}\cup J_{2n-k}$ para un entero impar $k$.

Por otro lado, si $U$ está conectado, entonces la partición de su preimagen es único, puesto que el $V_\alpha$ son los componentes conectados.