¿Qué representa una triple integral?

Question

A mi entender, si el integrando es 1, entonces te da el volumen de la región definida por los límites. ¿Pero qué representa el valor de una integral triple si el integrando es una función para una superficie en el espacio?

Answer 1

Puedes pensar en el integrando como la "densidad" de la región y en el valor de la integral como la "masa" del objeto.

Por ejemplo, $$ \int_0^1\int_0^1\int_0^1 1 \, \text{d}x \, \text{d}y \,\text{d}z $$ puede representar el volumen del cubo unitario dentro de la región $0\le x\le 1$ , $0\le y\le 1$ y $0\le z\le 1$ .

Para $$ \int_0^1\int_0^1\int_0^1 (x^2+y^2+z^2) \, \text{d}x \, \text{d}y \, \text{d}z\ , $$ se puede pensar en ella como la masa del mismo cubo cuya densidad viene dada por la función $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ . Esto significa que el cubo es ligero cerca del origen y se hace más pesado a medida que se aleja de él.

En general, $f$ puede ser negativo por lo que hay que considerar la masa con signo, lo que significa que la masa puede ser negativa en alguna parte...

Answer 2

Cuando $1$ es tu integrando, tienes estas interpretaciones geométricas:

$\quad\int dx$ es a la longitud

$\quad\iint dA$ es a la zona

$\quad\iiint dV$ es al volumen

Cuando tu integrando es alguna función, entonces es probable que hayas escuchado:

$\quad\int f(x)\ dx$ es el área firmada debajo de la curva.

Pero espera, dices, ¿por qué es que $\int dx$ es una longitud, pero $\int f(x)dx$ ¿es un área? En primer lugar, todo es una interpretación. Se podría decir que $\int dx$ es el área bajo la curva $f(x)=1$ . La diferencia es que si $f(x)\ne1$ entonces estamos asignando algún valor no trivial a cada punto del espacio evaluado. Obsérvese que si $f(x)$ y $x$ tienen unidades físicas $[f(x)]$ y $[x]$ respectivamente, entonces ese "área" tiene unidades $[f(x)]\times[x]$ . Por ejemplo, integrando una función de velocidad a lo largo de un periodo de tiempo $\int_{t_0}^{t_f} v(t)\ dt$ te daría un cambio en el desplazamiento.

Así que esto es una especie de densidad. En cada punto del intervalo, estás sumando cómo mucho del integrando está presente. Estás encontrando la cantidad de "cosas" asociadas al intervalo de integración. Teniendo esto en cuenta, revisemos nuestra afirmación anterior:

$\quad\int f(x)\ dx$ es la cantidad firmada de cosas asociado a la intervalo de la integración.

De ello se desprende que

$\quad\iint f(x,y)\ dxdy$ es la cantidad firmada de cosas asociado a la región de la integración.

Esto podría ser ciertamente un volumen, pero no debemos limitarnos. Integrar una densidad de carga superficial sobre una región te daría la cantidad total de carga, ¿no? Eso no es un volumen. Lo que realmente estamos haciendo es asignar un factor de ponderación a cada punto de la región y sumar todas estas contribuciones mediante la integración.

$\quad\iiint f(x,y,z)\ dxdydz$ es la cantidad firmada de cosas asociado a la volumen de la integración.

Si su integrando fuera una densidad de masa $\rho(x,y,z)$ y la integración sobre el volumen daría la masa total.

En cuanto a la comprensión de lo que hace realmente una integral, lo que he presentado es sobre todo una heurística, pero espero que sea útil. Desde luego, es válido para la física. Si hay algo que hay que tener en cuenta, es que si estás integrando cantidades con dimensiones físicas, entonces las unidades de tu resultado tendrán unidades iguales a las del integrando por las de los elementos diferenciales.

Es decir, si $I = \int f d\tau$ entonces $[I] = [f][d\tau]$ .

Answer 3

Apoyo sinceramente la interpretación del "volumen ponderado" que se encuentra en otras respuestas. Pero ya que IgnorantCuriosity ha preguntado por los paralelismos con, por ejemplo, el uso de una integral doble para representar el volumen bajo una superficie en 3 dimensiones, esto es lo que ocurre: una integral triple representa el volumen bajo un hipersuperficie en cuatro dimensiones .

Así que:

• $\int f(x)\,dx$ es el área bajo la curva $y=f(x)$ en dos dimensiones $(x,y)$ .
• $\int\int f(x,y)\,dx\,dy$ es el volumen bajo la superficie $z=f(x,y)$ en tres dimensiones $(x,y,z)$ .
• $\int\int\int f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ es el hipervolumen bajo la hipersuperficie $t=f(x,y,z)$ en cuatro dimensiones $(x,y,z,t)$ . ("Bajo" significa $t<f(x,y,z)$ .)

Answer 4

Esto depende de cuál sea la función dentro del integrando. Si la función es una función de densidad, la integral nos daría la masa total del objeto. También podría ser el volumen de algún objeto de 4 dimensiones.

Answer 5

Misa ... $$ \iiint_E w(x,y,z)\;dx\,dy\,dz $$ es la masa total de una región $E$ en el espacio, donde $w$ es la "densidad" (masa por unidad de volumen) que puede variar de un punto a otro.

Del mismo modo, para ilustrar la integración de una función con signo (que tiene potencialmente valores positivos y negativos), se puede pensar en calcular la carga total en una región del espacio, donde $w$ es la "densidad de carga" (carga por unidad de volumen).

En tu curso de cálculo, probablemente tienes algunos problemas en los que integras sobre un volumen de agua, donde la presión varía con la profundidad.