Suma de computación

Question

Estoy tratando de evaluar la serie: %#% $ de #% he intentado ponerlo en fracciones parciales pero no parece del telescopio. ¿Alguien tiene alguna idea?

Según Wolfram, la respuesta es $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{2^n}-3^{-2^n}}$.

Answer 1

Estrategia: encontrar una expresión que puede ser sustituida por una serie geométrica. Aquí, \begin{align} \sum{n=1}^\infty \frac{1}{3^{2^n}-3^{-2^n}} &= \sum{n=1}^\infty 3^{-2^n} \frac{1}{1-3^{-2^{n+1}}} \ &= \sum{n=1}^\infty 3^{-2^n} \sum{k=0}^\infty 3^{-2^{n+1}k} = \sum{n=1}^\infty \sum{k=0}^\infty 3^{-2^n(2k+1)}. \end{align} todos los exponentes son aún, y cada número par $2m$ puede ser escrito únicamente como $2m=2^n(2k+1)$ donde $n\ge1,k\ge0$. Por lo tanto $$ \sum{n=1}^\infty \sum{k=0}^\infty 3^{-2^n(2k+1)} = \sum_{m=1}^\infty 3 ^ {m-2} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac18 $$ (otra serie geométrica).

Answer 2

Respuesta de Greg Martin es muy conciso y elegante. Interesante saber $2^n(2k+1)$ recorre todos los números pares.

Aquí está mi intento - una versión mucho menos elegante. Fracciones parciales viene en práctico aunque sorprendentemente no telescópico.