Deje $X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ser algún mapa en $X:U\to S$
Deje $\pi(u,v,d):=C(u,v,d)/d$, con las siguientes definiciones:
Un "círculo" es el conjunto de todos los puntos de $p\in S$ de pie $d/2$ a algún punto fijo $q=X(u,v)$ (donde la distancia se mide utilizando la métrica $G=dX^TdX$),
Y $C(u,v,d)$ es el arclength de la curva (parametrizada en coordenadas locales por $\gamma(u,v,d)$) definido por este conjunto.
(Siéntase libre de sugerir otras más generales definiciones si crees que podría ser útil)
En primer lugar:
- Es allí cualquier superficie que no sea el avión para que $\pi(u,v,d)=const$?
- Es allí cualquier otra superficie sobre la que se $\pi(u,v,d)=\pi(u,v)$ (es decir, su constante por punto)
Estoy esencialmente de preguntar si el hecho de que $\pi$ es irracional es de alguna manera "built-in" a la realidad, o hay algunos más "racional" realidades donde, dicen, $\pi==22/7$.
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Apéndice:
Me recuerda vagamente del valor medio teorema para funciones armónicas (y las soluciones de la ecuación del calor), la cual establece que el valor de la media de cualquier armónico de la función $f$ sobre cualquier conjunto de círculos concéntricos es constante. Suponiendo que esto se aplica incluso en el caso de un armónico de la función más general de espacio métrico (¿?), puede que de alguna manera nos interpretar $C/d$ el (recíproco?) valor de la media más de los círculos de una función armónica, y por lo tanto menos probar (2)?
La media de alrededor de algún punto de $(u,v)$ se calcula como:
$\mu(u,v,d)=\frac{\int_\gamma f(\gamma(u,v,d)) ds}{C(u,v,d)}$
Tal vez la pregunta de arriba, a continuación, puede ser reformulada de la siguiente manera:
Es allí cualquier superficie en la que podemos definir algunos armónica de la función para la que $\mu(u,v,d)=d/C(u,v,d)$, en cuyo caso se obtiene haciendo la media teorema del valor que $\pi$ es constante por punto, y más allá de cualquier superficie de+armónico de la función de combinación para que $\mu(u,v,d)=d/C=const.$ ?
