Verdadero / falso:$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{a_n}} \over {{b_n}}} = 1$ implica$\sum {{a_n},\sum {{b_n}} } $ converger o divergir juntos.

Question

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{a_n}} \over {{b_n}}} = 1$$ Demostrar la declaración implica $\sum {{a_n},\sum {{b_n}} } $ convergen o divergen juntos.
Supongo que la afirmación es verdadera.

si $\sum{{a_n}}$ diverge, entonces $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0$

Así, $$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L \ne 0 \cr & {{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \over {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}} = 1 \Rightarrow {L \over {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}} = 1 \Rightarrow L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0 \cr} $$

por lo tanto, $\sum {b_n}$ también diverge.

Lo que no lograron hacer es demostrar que las dos series converge juntos.
O tal vez la afirmación no es siempre verdadera?

Answer 1

Sorprendentemente, esta declaración es falsa. Para un simple contraejemplo, considere $$ a_n = \ frac {(- 1) ^ n} {\ sqrt {n}}, \ quad \ text {y} \ quad b_n = \ frac {(- 1) ^ n } {\ sqrt {n}} + \ frac {1} {n} $$ La condición$a_n \sim b_n$ contiene pero$\sum a_n$ es convergente mientras que$\sum b_n$ es divergente.

Answer 2

Supongo que querías escribir eso

$1)$

si$\overline \lim(\frac {a_n}{b_n})<+\infty$ y$\sum b_n<+\infty$ entonces$\sum a_n$ converge también.

$2)$$\underline \lim(\frac {a_n}{b_n})>0$ y$\sum b_n$ diverge, luego$\sum a_n$ también diverge.

Answer 3

Si$a_n,b_n\ge 0$ y$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=1$ entonces$\exists N_1$ tal que,

$\frac{a_n}{b_n}>\frac{1}{2}$ para $n\ge N_1$

que es equivalente a$\quad$$2a_n>b_n$, para$n\ge N_1$

por lo tanto, si$\sum_{n}^{\infty} a_n$ converge, entonces$\sum_{n}^{\infty} 2a_n>\sum_{n}^{\infty} b_n$ también converge.

Del mismo modo$\exists N_2$ tal que,$\frac{a_n}{b_n}<\frac{3}{2}$ para$n\ge N_2$

Asi que $a_n<\frac{3b_n}{2}$

Si$\sum_{n}^{\infty} b_n$ converge, entonces también$\sum_{n}^{\infty} a_n$