Patrón interesante de números primos ocurrió en parejas ($p$ y $p+10$) antes de $1000$

Question

Estaba hojeando el libro de matemáticas donde vi una tabla de números primos. Los primos estaban marcados en negro y en negrita.

Es interesante ver que, excepto 3, 13, 23, muchos primos (no necesariamente consecutivos) aparecen en pares $p$ y $p+10, y su distribución en comparación con otros primos aislados no parecía disminuir en 1000. Así que busqué en Google y había una cosa llamada https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo_gemelo.

¿Mi pregunta es si el par de primos con módulo 10 fue solo una coincidencia?

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario.)

De hecho, si los humanos tuvieran $12$ dedos y generalmente usaran el sistema duodecimal (base $12$), los resultados serían más sorprendentes.

Usé Mathematica para encontrar el número $N$ de pares de primos $p$ y $p+m$ para los primeros $10000$ primos y los resultados se resumen a continuación:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline m&N&\text{nombre}\\ \hline 2&1270&\text{primos gemelos}\\ 4&1264&\text{primos primos}\\ 6&\color{blue}{2538}&\text{primos sexy}\\ 8&1303&-\\ 10&1682&-\\ 12&\color{blue}{2515}&-\\ 14&1546&-\\ \hline \end{array}$$

El hecho de que todos los primos $p>3$ tengan la forma $6n\pm1$ puede explicar la preferencia por $m=6$ y $m=12$.

P.D. El interesante nombre "primo sexy" tiene que ver con la palabra latina para seis (sex), aunque quien lo acuñó puede haber tenido otras cosas en mente.

Answer 2

Aquí está mi versión de la tabla que Tito Piezas III presentó en su respuesta. Inicialmente escribí el código incorrecto (usando la álgebra de computadora Reduce) y me preguntaba por qué no obtenía los mismos números que en la tabla de Tito, luego me di cuenta de que estaba calculando la cantidad de pares, para los primeros 10000 números primos $p\ge3$ tales que el próximo primo estaba a una distancia dada $m$ de $p$ (por ejemplo, distancia $2,4, ...,36$). El número de primos está en la columna $K$ en la tabla a continuación (mientras que la columna $N$ es la cantidad de pares, para los primeros 10000 números primos $p\ge3$ tales que $p+m$ también es un primo). Por ejemplo, el primo $101$ se cuenta, cuando $m=6$, en la columna $N$ ya que $101+6=107$ es también un primo, pero no se cuenta en la columna $K$ ya que el siguiente primo después de $101$ es $103$ que no está a una distancia de $6$ de $101.$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline m&N&K\\ \hline 2&1270&1270\\ 4&1264&1263\\ 6&\color{blue}{2538}&\color{blue}{2012}\\ 8&1303&801\\ 10&1682&953\\ 12&\color{blue}{2515}&\color{green}{1008}\\ 14&1546&513\\ 16&1275&354\\ 18&\color{blue}{2569}&\color{green}{537}\\ 20&1701&249\\ 22&1403&235\\ 24&\color{blue}{2578}&\color{green}{222}\\ 26&1402&91\\ 28&1519&102\\ 30&\color{red}{3451}&\color{green}{154}\\ 32&1246&35\\ 34&1357&36\\ 36&\color{blue}{2561}&\color{green}{55}\\ \hline \end{array}

Parece interesante que $N$ sea casi el mismo para todos los $m$ que son múltiplos de $6$, hasta $m=36$, excepto por un pico en $m=30$ (esto puede tener algo que ver con $30$ siendo divisible por el pequeño primo $5$ (además de $2$ y $3$) mientras que $6,12,18,24,36$ cada uno es divisible solo por los primos $2,3$). Siento que una forma del principio del palomar es relevante, si colocas tantos primos en este pequeño espacio, algunas distancias entre estos primos deberían repetirse.