Demuestra que las matrices congruentes tienen el mismo rango.

Question

¿Puede alguien demostrar que dos matrices similares tienen el mismo rango?

Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que $A$ y $B$ son congruentes, por lo que $A=S^TBS$ . Obsérvese que como $S$ es invertible, también lo es $S^T$ .desde $S$ es invertible sabemos que $Im(B)=Im(BS)$ . Por lo tanto, también tenemos el rango de $B$ y el rango de $BS$ son iguales.Asimismo, dado que $S^T$ es invertible, sabemos que $Ker(S^T(BS))=Ker(BS)$ . Aplicando el teorema de nulidad de rango y la igualdad entre imágenes , tenemos por tanto $rank(A)=rank(S^TBS)=n-dim(Ker(BS))=n-dim(Ker(B))=rank(B)$

Answer 2

Dejemos que $A$ ser un $m\times n$ matriz.

Pista 1: Si $G$ es un invertible $n\times n$ matriz, entonces $A$ y $AG$ tienen el mismo espacio de columna

Pista 2: Si $F$ es un invertible $m\times m$ matriz, entonces $A$ y $FA$ tienen el mismo rango (porque $F$ induce un isomorfismo del espacio de columnas de $A$ al espacio de la columna de $FA$ )

Answer 3

Utilice $\text{rank}(AB) \le \text{rank}(A)$ y $\text{rank}(AB) \le \text{rank}(B)$ .