Considere el siguiente producto "a diferencia" de la fórmula: $$\sin p\sin q=\frac{1}{2}[\cos(p-q)-\cos(p+q)].$$ Me pregunto si el lado derecho se puede expresar como una suma ponderada de funciones coseno con positivo de los coeficientes, es decir, si una "diferencia" de la fórmula puede ser una fórmula de la suma.
Para la concreción formulo la siguiente pregunta: Dado $a_0>0$, ¿ no existir $a_i\ge 0$ $b_i$ tal que $$\sin (a_0x)\sin x=\sum_{i=1}^{\infty}a_i\cos b_i x?$$
Con una restricción de $a_0$$b_i$, es decir, que $a_0, b_i\in \mathbb{N}$, la singularidad de la serie de Fourier implica que el problema no tiene soluciones. Aún más, simplemente, podemos evaluar ambos lados en $x=0$ a ver que la igualdad no puede sostener. Para solucionar este problema, pido a la siguiente modificación pregunta: Dado $a_0>0$, ¿ no existir $a_i\ge 0$ $b_i$ $\mathrm{err}_{a_0}=\mathrm{err}$ tal que $$\sin (a_0x)\sin x=\sum_{i=1}^{\infty}a_i\cos b_i x +\mathrm{err}(x)$$ donde la función err es arbitraria sinusoidal de la serie, es decir, $$\mathrm{err}(x)=\sum_{j=1}^{\infty}c_i\sin d_ix$$ donde $c_i$ $d_i$ son arbitrarias de los números reales. ¿El problema tiene una solución en general, sin ningún tipo de restricciones?
