Pregunta sobre la prueba de que$\zeta(s) \neq 0$ para$\Re(s) = 1$

Question

Yo estoy siguiendo este papel: http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/Zagier.pdf

Definir $\Phi(s) = \displaystyle\sum_p \frac{\log p}{p^s}$.

Tomando un logaritmo y diferenciar el producto de Euler fórmula $\zeta(s) = \displaystyle\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}$, que se derivan de

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \Phi(s) + \displaystyle\sum_p \frac{\log p}{p^s(p^s-1)}.$$

Suponga que $s_0 = 1 + ia$ es un cero de $\zeta$ orden $\mu$. Entonces podemos escribir $\zeta(s) = (s-s_0)^{\mu} g(s)$ para algunos la función $g(s)$ que es analítica y distinto de cero en $s_0$.

Por lo $\zeta'(s) = \mu(s-s_0)^{\mu -1} g(s) + g'(s) (s-s_0)^{\mu}$ por la regla del producto.

Con un poco de álgebra se puede derivar

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\frac{\mu}{s-s_0} - \frac{g'(s)}{g(s)}.$$

Esto da lugar a la fórmula

$$\Phi(s) = -\frac{\mu}{s-s_0} - \frac{g'(s)}{g(s)} - \displaystyle\sum_p \frac{\log p}{p^s(p^s-1)}.$$

Definir $F(s) = -\frac{g'(s)}{g(s)} - \displaystyle\sum_p \frac{\log(p)}{p^s(p^s-1)}$. Ahora podemos demostrar que

$$\displaystyle\lim_{\epsilon \searrow 0} \epsilon \Phi(1+\epsilon + ia) = \displaystyle\lim_{\epsilon \searrow 0} \epsilon F(1+\epsilon+ia) - \mu = - \mu.$$

a través de la directa de la computación.

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Ahora, hacer un reclamo en el papel que "debido a que $s=1$ es un simple polo de $\zeta$ de los residuos $1$", tenemos $\displaystyle\lim_{\epsilon \searrow 0} \epsilon \Phi(1+\epsilon) = 1$. Esto es lo que no entiendo. Hacer un proceso similar a lo que hice anteriormente me da

$$\displaystyle\lim_{\epsilon \searrow 0} \epsilon \Phi(1+\epsilon) = \displaystyle\lim_{\epsilon \searrow 0} -\frac{\epsilon \mu}{\epsilon - ia} - \epsilon \frac{g'(1+\epsilon)}{g(1+\epsilon)} - \epsilon \displaystyle\sum_p \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}(p^{1+\epsilon}-1)}$$

Y yo no veo ninguna manera de la que puedo obtener un $1$ como el resultado, ya que todos los términos deben converger a cero. El segundo y tercer términos se pondrá a cero porque se hizo antes y el primer término se vaya a cero simple límite de las leyes.

Llego a la conclusión de que he cometido un error en algún lugar o me estoy perdiendo algo que es obvio.

Answer 1

De tu ecuación $$ - \ frac {\ zeta ^ \ prime (s)} {\ zeta (s)} = \ Phi (s) + \ sum_p \ frac {\ log p} {p ^ s (p ^ s- 1)} $$ y el hecho de que$-\zeta^\prime/\zeta(s)$ tiene un polo de residencia simple$1$, deducimos que lo mismo vale para$\Phi(s)$, ya que la suma de$p$ converge en $s=1$. (Por ejemplo, en comparación con$\sum_n \log(n)/n^2$.) So $$ \ Phi (s) = \ frac {1} {s-1} + O (1), $$ sustituyendo$s=1+\epsilon$ y multiplicando por $\epsilon$ da $$ \ epsilon \, \ Phi (1+ \ epsilon) = \ epsilon \, \ frac {1} {\ epsilon} + O (\ epsilon), $$ y sigue el límite deseado.