Prueba de similitud de series de potencias complejas

Question

Vamos a ser las funciones

$$ f(x)=\sqrt{2}\frac{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x))}{(1+x^2)^{1/4}} \qquad g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}} $$

Obviamente, son holomorphic funciones en un barrio de $0$. La serie de $g(z)$ es bien conocida y el uso de Mathematica tenemos

$$ f(x)= 1+\frac{x}{2} - \frac{3x^2}{8}-\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}-\frac{231x^6}{1024}-\frac{429x^7}{2048}+\dotsc $$ $$ g(x)= 1+\frac{x}{2}+ \frac{3x^2}{8}+\frac{5x^3}{16}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}+\frac{231x^6}{1024}+\frac{429x^7}{2048}+\dotsc $$

Ejercicio. Prueba el valor absoluto de los coeficientes de las dos series son las mismas.

Prestar atención. Con trigonométricas manipulación puedo conseguir $$ f(x)=\frac{1+x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{2}(1+x^2)^{3/4}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}} $$ Mi idea es utilizar la Integral de Cauchy Teorema para calcular los coeficientes $$ a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz $$ y con los cambios de las variables de conseguir algo que se parece a $$ \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{g(z)}{z^{n+1}}dz $$ Pero si yo trabajo en $\mathbb{C}$ necesito para definir $\log(1+z^2)$ y trabajar con él en los cambios de las variables no parece tan amable.

Me puedes dar una sugerencia para demostrarlo?

Answer 1

Insinuación

Dejar $\phi(z)=\sum_k a_k z^k$.

El primer paso es ver cómo expresar$a_0+a_1 z-a_2 z^2 -a_3 z^3 +a_4 z^4+\ldots$ usando$\phi$.

Las cuatro raíces de$X^4=1$ son$\lbrace \pm 1, \pm i \rbrace$. Tienes que resolver el sistema:$$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-i&-1\\1^2&i^2&(-i)^2&(-1)^2\\1^3&i^3&(-i)^3&(-1)^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\c \\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1 \\-1 \end{pmatrix}$ $

Como las soluciones son$a=d=0$,$b=\frac{1-i}{2}, c=\frac{1+i}{2}$, obtienes:$$a_0+a_1 z-a_2 z^2 -a_3 z^3 +a_4 z^4+\ldots = \frac{1}{2} \left((1-i)\phi(ix)+(1+i)\phi(-ix) \right)$ $

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Aquí tienes que demostrar que cerca del$0$:$$f(x)=\frac{1}{2} \left(\frac{1-i}{\sqrt{1-ix}}+\frac{1+i}{\sqrt{1+ix}} \right)$ $

Usando su expresión de$f$, esto es lo mismo para demostrar que cerca de$0$:$$(1+i) \sqrt{1-ix}+(1-i) \sqrt{1+ix}=\sqrt{2}\frac{1+x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}=2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}$ $ parece más fácil.