¿Es esta una inversión a través del origen?

Question

Tengo un vector polar $e$ con $|e|=1$, y realizo una transformación $T$ que mapea todos los demás vectores polares de manera que $e \cdot T (s) = - e \cdot s$. Uno de esos $T$ es la inversión a través del origen. ¿Qué puede ser $T$ en general, dado que los vectores son $d$ dimensionales? ¿Qué otras restricciones necesitaría para asegurar que la única opción de $T$ sea la inversión a través del origen? Es decir, si tengo $d-1$ vectores no idénticos $e_i$ con $i=1,\cdot\cdot\cdot, d-1$ cada uno con la condición $e_i \cdot T (s) = - e_i \cdot s$ entonces creo que esto es suficiente, pero ¿quizás hay una condición más débil?

¿La única restricción $e \cdot T (s) = - e \cdot s$ implica que $T$ es una inversión a través del origen con permutaciones de vectores?

Answer 1

$T$ no necesita ser puramente una inversión a través del origen. Por ejemplo, supongamos que $x$ es perpendicular a $s$ con $|x|=1$. Dejemos

$$ T:s\mapsto -(e\cdot s)e + (x\cdot s)x $$

Entonces, para cualquier $s$, tenemos que $$ e\cdot T(s) = e\cdot\Big( -(e\cdot s)e + (x\cdot s)x\Big)=-(e\cdot s)(e\cdot e)+(x\cdot e)(e\cdot x)=-(e\cdot s) $$

Además, tenemos que $$ T(x)= 0+(x\cdot x)x=x $$

Este ejemplo también nos dice un poco más. La condición que describes se acerca mucho más a la verdad. Mientras $span(e_1,....,e_n)^\perp$ no esté vacío, podemos repetir la construcción anterior. Entonces realmente necesitas elegir una base y agregar una condición para todo en esa base. Efectivamente, esto es lo mismo que especificar que $T$ es la inversión. No habrá una condición tan simple como te gustaría. Necesitarás algo global.

Ahora asumamos que $\{e_i\}$ es alguna base, y tienes condiciones $$ e_i\cdot T(s) = -e_i\cdot s $$

para cada $1\leq i\leq d$, luego $T = -I$. Considera la matriz $E$ cuyas columnas son los vectores $e_1,..,e_d$. Podemos escribir que $$ e_i\cdot T(e_j) = -e_i\cdot e_j $$ para cada $i$ y $j$. La afirmación ahora equivale a $$ E^T TE=-E^TE $$

Puedes verificar esto elemento por elemento. En la derecha, el elemento $(i,j)$ es $-e_i\cdot e_j$. En la izquierda, el elemento $(i,j)$ es $e_j\cdot (T e_i)$. Ahora, como $E$ es una base, tanto $E$ como $E^T$ son invertibles. Así que $T = -I.