$\mathbb{R}$ está completo$\rightarrow$$\mathbb{C}$ completado

Question

En un libro que estoy leyendo sobre análisis funcional y espacios métricos. El autor pasa por una larga prueba que demuestre que $\mathbb{C}$ es completa, pero al final de la prueba, que el autor afirma que una prueba más simple es utilizar el completenss $\mathbb{R}$ para probar la integridad de $\mathbb{C}$, han tratado de buscar esta prueba pero no podía encontrar ninguna. ¿Hay una forma de prueba esto?

Answer 1

Supongamos que $z_n=x_n+i y_n$ $x_n,y_n\in\mathbb R$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb C$. Desde $|z|^2=|x|^2+|y|^2$ esto es posible si y sólo si $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ son secuencias de Cauchy en $\mathbb R$. De hecho, $$ |z_n-z_m|^2=|x_n-x_m|^2+|y_n-y_m|^2\leq \epsilon\Rightarrow |x_n-x_m|^2\leq \epsilon\textrm{ y } |x_n-x_m|^2\leq \epsilon $$ y viceversa $$ |x_n-x_m|^2\leq \epsilon\textrm{ y } |x_n-x_m|^2\leq \epsilon \Rightarrow |z_n-z_m|^2 \leq 2\epsilon. $$ Desde $\mathbb R$ es completa, $$ \exists \bar x,\bar y\in \mathbb R:\quad \lim_n x_n=\bar x,\quad \lim_n y_n=\bar y $$ Esto implica inmediatamente $$ z_n\a \bar x+ i\bar y=:\barra z $$ Por lo tanto, cada secuencia de Cauchy en $\mathbb C$ es convergente en $\mathbb C$.

Answer 2

Una secuencia de $\Bbb C$ converge iff que convergen la parte real y parte imaginaria.

Lo mismo se aplica para secuencias de cauchy, pero ambos, la secuencia de la parte real y la parte imaginaria son secuencias de cauchy en $\Bbb R$, para que pueda utilizar la totalidad de $\Bbb R$.

Answer 3

Indirecta: $$|z_n-w|\to0\Leftrightarrow |\Re{z_n}-\Re{w}|\to0\text{ and }|\Im{z_n}-\Im{w}|\to0$ $