Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $$72=2^3\cdot 3^2$$ Sin usar el Teorema de Burnside, cómo demostrar que $G$ ¿es solucionable?
Intento:
Si podemos demostrar que $G$ tiene al menos un subgrupo normal no trivial $N$ entonces sería fácil demostrar que es solucionable. De hecho, $$1\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow G/N\longrightarrow 1$$ sería una secuencia exacta corta con $N$ y $N/G$ de orden $2^i\cdot3^j$ para algunos $i,j\in\{0,1,2\}$ y no es demasiado difícil demostrar que tales grupos son siempre resolubles. Sin embargo, no encuentro la manera de demostrar que $G$ no es sencillo.
Añadido: Si $G$ no es simple, entonces el Teorema de Sylow implica que hay $4$ subgrupos de orden 9 y 3 o 9 subgrupos de orden 8. Entonces, no veo cómo usar eso para demostrar que $G$ no es sencillo.
