Teorema del residuo de Cauchy Integral

Question

Me han dado la integral $$\int_0^ {2\pi} \frac{sin^2\theta} {2 - cos\theta} d\theta $$ He utilizado las sustituciones $z=e^{i\theta}$ | $d\theta = \frac{1}{iz}dz$ y un montón de álgebra para transformar la integral en esto $$\frac{-i}{2} \oint \frac{1}{z^2}\frac{(z-1)^2}{z^2-4z+1}dz$$ Para encontrar los residuos he dividido la integral en $$\frac{-i}{2} \oint \frac{1}{z^2}\frac{(z-1)^2}{(z+-r_1)(z-r_2)}dz$$ donde $r_1 = 2+\sqrt{3}$ y $r_2 = 2-\sqrt{3}$ dándome tres residuos en $z=0|z=r_1|z=r_2 $

Mi pregunta es ¿a dónde voy a partir de aquí? Gracias.

Answer 1

Hubo un error en el post original. Hemos

$$\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2(\theta)}{2-\cos(\theta)}d\theta=-\frac i2\oint_{|z|=1}\frac{(z^2-1)^2}{z^2(z^2-4z+1)}\,dz$$

Hay dos polos en el interior $|z|=1$ . El primero es un polo de segundo orden en $z=0$ y el segundo es un polo de primer orden en $z=r_2$ .

Para encontrar el residuo del primer polo utilizamos la expresión general para el residuo de un polo de orden $n$

$$\text{Res}\{f(z), z= z_0\}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left((z-z_0)^nf(z)\right)\right)$$

Aquí, tenemos

$$\begin{align} \text{Res}\left(\frac{-i(z^2-1)^2}{2z^2(z^2-4z+1)}, z= 0\right)&=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to 0}\left(\frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}}\left((z-0)^2\frac{-i(z^2-1)^2}{2z^2(z^2-4z+1)}\right)\right)\\\\ \end{align}$$

Para encontrar el residuo en $z=r_2$ simplemente tenemos

$$\text{Res}\left(\frac{-i(z^2-1)^2}{2z^2(z^2-4z+1)}, z= r_2\right)=\lim_{z\to r_2}\frac{-i(z^2-1)^2}{2z^2(z-r_1)}=-\frac{i}{2}\frac{(r_2^2-1)^2}{r_2^2(r_2-r_1)}$$

El resto se deja como ejercicio para el lector.