¿Lo que ' s tan útil sobre diagonalizing una matriz?

Question

Me dicen que el propósito de diagonalisation es traer a la matriz en un 'bonito' que permite una forma rápida de calcular con ella. Sin embargo, en la escritura de la matriz en este bonito diagonal de la forma que tienen de expresar w.r.t. un nuevo vector propio. Pero usted probablemente querrá la respuesta de la multiplicación de la matriz escrito w.r.t. a la base original, por lo que tendrá que hacer un no-niza la multiplicación de la matriz independientemente. Ejemplo de lo que quiero decir:

Quiero calcular $Ax$ donde $A$ $x$ se dan w.r.t. el estándar de base ($\epsilon$). Sin embargo $A$ es bastante grande y molesto para calcular, así que me calcular el $A_E$ que es una matriz diagonal por escrito w.r.t. el vector propio. Pero para calcular $Ax$ el uso de esta matriz, todavía tengo que calcular los siguientes: $$ _\epsilon S_E A_E\ _E S_\epsilon$$ Donde el $S$ son la base de la transición de las matrices, y aquellos que son muy propensos a ser al menos tan feo como nuestro original $A$, así que no veo lo que estamos ganando aquí. Si nada de esto parece ser un trabajo mucho más.

La única cosa que puedo imaginar ser más fácil de esta manera es la informática algo como $A^{10000}x$ o algo, porque $A^{10000}$ tiene un muy fácil formar al $A$ es una matriz diagonal, mientras que este tendría para siempre si $A$ no es una matriz diagonal. Pero es esto realmente el único propósito de diagonalisation; para calcular cosas como $A^{10000}x$?

Answer 1

Creo que, en definitiva, el propósito es más bien para proporcionar una caracterización de la matriz que le interesa, en la mayoría de los casos. Un "simple" forma diagonal le permite al instante determinar el rango, autovalores, invertibility, es una proyección, etc. Es decir, todas las propiedades que son invariantes bajo la similitud de transformación, son mucho más fáciles de evaluar.

Un ejemplo práctico: componentes principales es una de diagonalización ortogonal que dan información importante sobre los componentes independientes (vectores propios) en un sistema y la importancia de cada componente (autovalores) - lo que permite caracterizar el sistema de una manera que no es posible en los datos originales. http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis

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No puedo pensar en un caso en el que diagonalización se utiliza exclusivamente como un medio para "simplificar" cálculo como es computacionalmente costoso - es más de un objetivo final en sí mismo.

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Answer 2

Añadiré que mientras usted mención computación entero potencias de matrices, diagonalización ayuda en computación potencias fraccionarias y exponenciación. Si desea calcular el % de matriz $\exp(\mathbf{A})$podría ir la ruta lenta y utiliza la entrega de la serie de Taylor:\begin{align}\mathbf{I}+\mathbf{A}+\frac{\mathbf{A}^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3}{3!}+\dots+\frac{\mathbf{A}^n}{n!}+\dots\end {Alinee el}

o alternativamente diagonalize $\mathbf{A}$ y es tan fácil como haciendo $e^\lambda$ para cada valor propio de la matriz diagonal. Esto reduce significativamente la complejidad de la exponenciación de la matriz da una precisión necesaria.

Answer 3

Aquí hay algunas situaciones donde usted necesita para calcular la diagonal de la forma.

1) en Primer lugar y ante todo, diagonalisation debe ser aplicada a endomorphisms, y no de las matrices, lo que significa que una base no puede ser dado.

Ejemplo : considere el $E$ el espacio vectorial de las secuencias de $(u_n)_n$ tal que $u_{n+3}=5u_{n+2} + u_{n+1} - u_{n}$. Es bien sabido que este tipo de secuencia es lineal combinaison de exponenciales ($\lambda^n$). Esto proviene del hecho de que el operador $(u_n)_n \mapsto (u_{n+1})_n$ es un diagonalisable endomorfismo en $E$, e $(\lambda^n)_n$ es el eigen-vectores para $\lambda$.

2.1) Dada una simetría de la matriz de $A$, esto puede ser visto como un simétricos forma bilineal. Es posible que desee saber si se trata de un producto escalar, y calcular un orthognal base, así que usted tiene que calcular la diagonal de la forma (pero ten cuidado que usted necesita ${}_{\epsilon}S_{E}$ ser ortogonales).

2.2) Dada una elipse de ecuación de $x^2+3y^2+4xy = 1$, es posible que desee saber de su eje.

3) Dada una ecuación diferencial $X'=A.X$, es posible que desee saber si las soluciones que se vaya a $0$ o $\infty$, y en el que las direcciones.