Epimorphisms de gavillas de grupos

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico, y $F$ $G$ dos poleas de los conjuntos en $X$. Deje $\eta : F \rightarrow G$ ser una de morfismos de las poleas.

Entonces, ¿cómo le mostrará la siguiente:

$\eta$ es un epimorphism en la categoría de las poleas de los conjuntos en $X$ si y sólo si para todos los $x \in X$, la inducida por los mapas sobre los tallos $\eta_{x}: F_x \rightarrow G_x$ son surjective. (1)

Aquí hay un par de comentarios:

En la Geometría Algebraica en el Capítulo 2, la Proposición 1.1, Hartshorne demuestra que en la instalación como en el anterior $\eta$ es un isomorfismo si y sólo si para todos los $x \in X$ la inducida por los mapas sobre los tallos $\eta_x : F_x \rightarrow G_x$ son bijective (él considera gavillas de abelian grupos, de modo que en su declaración de $\eta_x$ son isomorphisms, pero la prueba sigue siendo válida si tenemos en cuenta las poleas de conjuntos). Pero, en esta prueba se basa en la siguiente agradable hecho: $\eta$ es un isomorfismo si y sólo si para todo abierto $U \subset X$, el componente de mapas de $\eta(U) : F(U) \rightarrow G(U)$ son bijective.

Nunca he visto realmente una prueba de la siguiente forma análoga hecho (lo cual puede ser útil en la solución del problema): $\eta$ es un epimorphism si y sólo si para todo abierto $U \subset X$, $\eta(U): F(U) \rightarrow G(U)$ es surjective (2).

((Creo que (2) es verdadera, pero espero que haya una solución a mi problema sin el uso de este hecho.))

Incluso si asumimos (2) ser una declaración verdadera, entonces para comprobar el retroceso implicación de (1) todavía no se pueden extender Hartshorne del método, para cuando él se muestra que para abrir todas las $U \subset X$, $\eta(U): F(U) \rightarrow G(U)$ es surjective, él necesita la suposición de que $\eta(U)$ son inyectiva, que demuestra de antemano.

Con estos comentarios, que probablemente muestre que estoy pensando sobre el problema de forma incorrecta, alguien puede darme una indicación de cómo demostrar (1)?

Answer 1

Deje $X$ ser un espacio topológico, y deje $\alpha : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ ser una de morfismos de poleas en $X$. Deje $j : \{ x \} \hookrightarrow X$ ser la inclusión de un punto en $X$. Entonces, por definición, el tallo de $\mathscr{F}$ $x$ es simplemente la inversa de la imagen gavilla $j^* \mathscr{F}$. Pero sabemos $j^* \dashv j_*$ (es decir, la inversa de la imagen functor $j^*$ que queda adjunto a la imagen directa functor $j_*$), y a la izquierda adjoints preservar colimits, por lo tanto, si $\alpha$ es épico, por lo que es $\alpha_x : \mathscr{F}_x \to \mathscr{G}_x$.

Por el contrario, supongamos $\alpha_x : \mathscr{F}_x \to \mathscr{G}_x$ es surjective para cada $x$$X$. Deje $\beta, \gamma : \mathscr{G} \to \mathscr{H}$ ser dos morfismos de poleas, y supongamos $\beta \circ \alpha = \gamma \circ \alpha$. Debemos mostrarles a $\beta = \gamma$. Sin duda, tenemos $\beta_x \circ \alpha_x = \gamma_x \circ \alpha_x$, e $\alpha_x$ es épico por hipótesis, por lo que tenemos $\beta_x = \gamma_x$ todos los $x$$X$. Deje $s \in \mathscr{G}(U)$, y considerar la posibilidad de $\beta_U(s)$$\gamma_U(s)$. Desde $\beta$ $\gamma$ está de acuerdo en que los gérmenes, en cada una de las $x$ $U$ hay una vecindad $V$ que $\beta_V(s|_V) = \gamma_V(s|_V)$, y así, por la única propiedad de intercalación, debemos tener $\beta_U(s) = \gamma_U(s)$, y por lo tanto debemos en efecto $\beta = \gamma$.