¿Cómo se resuelve la suma de la serie: $\cos{x}+\cos{2x}+\cdots+\cos{(n-1)x}$ al multiplicar por $2\sin(x/2)$?

Question

¿Cómo se calcula la suma de la serie: $\cos{x}+\cos{2x}+\cdots+\cos{(n-1)x}$ multiplicando por $2\sin(x/2)$? Se supone que debo encontrar la suma utilizando solo este método y no estoy completamente seguro de cómo se verá la suma al final. ¿Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Pista: Usa la identidad $$2\cos(\theta)\sin(\phi) = \sin(\theta + \phi)-\sin(\theta-\phi)$$

Answer 2

Otra forma es usar que $$e^{ix}+e^{2ix}+\cdots+e^{(n-1)ix}=e^{ix}\dfrac{e^{(n-1)ix}-1}{e^{ix}-1}$$ y la identidad de Euler.