¿La integración es funcional continua en el espacio de Skorohod?

Question

He leído varias veces que la integración es un continuo funcional en el espacio de Skorohod $D[0,1]$, es decir, el conjunto de todas las funciones cadlag en $[0,1]$ dotado de la métrica de Skorohod; en símbolos, la declaración dice que el % de asignación $I:D[0,1] \rightarrow \mathrm{R}: f \mapsto \int_0^1f(x)\mathrm{d}x$es continuo con respecto a la métrica de Skorohod $D[0,1]$ y la norma euclidiana en $\mathrm{R}$. ¿Alguien sabe una referencia a una prueba de ese hecho o saber probarlo?

¡Muchas gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Deje $f \in D[0,1]$ ser un cadlag función. Entonces, por definición de la Skorokhod métrica $d$ si $d(f,g) \le \varepsilon$, entonces existe un cambio de hora $\tau$ tal que

$\Vert \tau - t \Vert \le \varepsilon$

y

$f \circ \tau - \varepsilon \le g \le f \circ \tau + \varepsilon$.

Vamos a usar la notación de

$\displaystyle f^\ast(t, \varepsilon) := \sup_{|s-t| \le \varepsilon} f(s)$

$\displaystyle f_\ast(t, \varepsilon) := \inf_{|s-t| \le \varepsilon} f(s)$

De las desigualdades en $f$ $g$ se sigue que $f_\ast - \varepsilon \le g \le f^\ast + \varepsilon$.

Por otro lado, $f^\ast(\cdot, \varepsilon) \to f$ $f_\ast(\cdot, \varepsilon) \to f$ $L^1$ (en realidad esto significa integrabilidad de Riemann de $f$!). De ello se desprende que la inclusión $D \to L^1$ es continuo, a partir de la cual la continuidad de la integración sigue de inmediato.

Relacionar $f^\ast \to f$ $f_\ast \to f$ $L^1$ a integrabilidad de Riemann, uno puede estimar $\intop (f^\ast - f_\ast) dt$ a través de las diferencias entre la parte superior e inferior de Darboux sumas de dinero, y viceversa. La idea es introducir dos particiones de $[0,1]$ en segmentos tales que cada segmento de longitud $2\varepsilon$ se encuentra dentro de uno de los segmentos de las particiones. A continuación, las diferencias entre las sumas de Darboux para esas particiones juntos enlazados $\intop (f^\ast - f_\ast) dt$.

Una línea de argumentación es que la integrabilidad de Riemann es equivalente a acotamiento y la continuidad en casi todas partes, y claramente, $f^\ast$ $f_\ast$ convergen a $f$ en los puntos de continuidad, por lo $f^\ast - f_\ast \to 0$ $L^1$ por el teorema de Lebesgue.