Variedades e ideales

Question

Estoy haciendo los ejercicios de Fulton of Algebraic Geometry y estoy atrapado en el problema 2.44

Permita que$V$ sea una variedad en$\mathbb{A}^{n}$,$I=I(V)\subset k[x_{1},\ldots,x_{n}]$,$P\in V$ y deje$J$ e ideal$k[x_1,\ldots,x_n]$ que contenga$I$. Deje$J'$ ser la imagen de$J$ en$\Gamma(V)$. Demuestre que existe un homomorfismo natural$\varphi$ de$\mathcal{O}_{P}(\mathbb{A}^{n})/J\mathcal{O}(\mathbb{A}^{n})$ a$\mathcal{O}_{p}(\mathbb{V})/J'\mathcal{O}(\mathbb{V})$ y demuestre que$\varphi$ es un isomorfismo. En particular,$\mathcal{O}_{P}(\mathbb{A}^{n})/I\mathcal{O}(\mathbb{A}^{n})$ es isomorfo a$\mathcal{O}_{P}(V)$

Si alguien puede ayudar, realmente lo agradeceré :)

Answer 1

Deje $R=k[x_1,\ldots,x_n]$, por lo que no tengo que seguir escribiendo.

Voy a construir de forma explícita, aunque yo lo voy a hacer en dos etapas.

Primero vamos a necesitar un mapa de $\psi$$O_P(\Bbb{A}^n)\to O_P(V)$.

Definir $\psi(f/g)=\frac{\overline{f}}{\overline{g}}$ donde $\overline{f}$ es la imagen de $f$ bajo canónica de la proyección de $R$ $R/I$y de manera similar para $g$. Desde $g(P)\ne 0$, y $P\in V$, $g\not \in I$, por lo $\overline{g}\ne 0$. Por lo tanto este es un muy bien definido el mapa, y yo te permitirá comprobar que se trata de un surjective homomorphism.

A continuación, vamos a $\tau: O_P(V)\to O_P(V)/J'O_P(V)$ será el habitual de proyección. $\tau$ es un surjective homomorphism así.

A continuación, vamos a $\sigma= \tau \circ \psi : O_P(\Bbb{A}^n) \to O_P(V)/J'O_P(V)$. Desde $\tau$ $\psi$ son surjective homomorphisms, $\sigma$ es así. Sólo tenemos que encontrar el núcleo de $\sigma$.

Supongamos $f/g$ se asigna a 0 en $\sigma$. Entonces $$\frac{\overline{f}}{\overline{g}}\in J'O_P(V).$$ Multiplicando por $\overline{g}$ tenemos $\overline{f}\in J'O_P(V)$. Entonces $$\overline{f}=\sum_{i=1}^n\frac{\overline{j_i}}{\overline{g_i}}$$ for $\overline{j_i}\in J'$, $\frac{1}{\overline{g_i}}\en O_P(V)$ such that $\overline{g_i}$ is the representative of some $g_i\R$ with $g_i(P)\ne 0$ (note this is possible by absorbing the numerator into the $\overline{j_i}$). Ahora multiplicando por todas las $\overline{g_i}$ hemos $$\overline{f}\prod_i \overline{g_i} \in J'$$ since $J'$ es un ideal y los denominadores de todas cancelar, así $$f\prod_i g_i=\alpha$$ for some $\alfa$ in $J$ since $I\subconjunto J$. Finalmente dividiendo por el producto de la $g_i$ desde el $g_i$ es invertible en a $O_P(\Bbb{A}^n)$ da $f\in JO_P(\Bbb{A}^n)$. A continuación,$f/g \in JO_P(\Bbb{A}^n)$, lo $\ker \sigma \subset JO_P(\Bbb{A}^n)$.

Casi hemos terminado. Para mostrar $JO_P(\Bbb{A}^n)\subset \ker \sigma$, observamos que si $a=\sum_{i} j_ia_i$ $j_i\in J$, $a_i\in O_P(\Bbb{A}^n)$, $\sigma(a)=0$ desde $\psi(j_i)\in J'$, lo $\sigma(j_i)=0$.

Por lo tanto,$\ker\sigma=JO_P(\Bbb{A}^n)$, por lo que el deseado natural isomorfismo existe por el primer teorema de isomorfismo.