Estoy con la esperanza de encontrar un cerrado expresión para la siguiente integral. $$ \int\text{e}^{-ax^2 } \text{fer}\left(bx + c\right) dx $$ Uno puede encontrar una solución para una familia de productos entre exponenciales y funciones de error. Ninguno de los que, aparentemente, tiene el desplazamiento plazo en la función de error.
He tratado de abordar el problema con los dos enfoques.
Enfoque #1: la Expansión de la función de error con la esperanza de encontrar buen cancelaciones que conduce a la maclerin serie de algunas de las primarias de la función. Siguiendo un método similar al de Alex:
$$ \begin{aligned} \int\text{e}^{-ax^2 } \text{erf}\left(bx + c\right) dx &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{n!(2n+1)} \int(bx+c)^{2n +1} \text{e}^{-ax^2} dx \\ & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{n!(2n+1)} \int \sum_{k=0}^{2n+1} {{2n+1}\choose{k}} (bx)^{k} c^{2n+1-k} \text{e}^{-ax^2} dx \\ & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{n!(2n+1)} \sum_{k=0}^{2n+1} {{2n+1}\choose{k}} c^{2n+1-k} b^k\int x^{k} \text{e}^{-ax^2} dx = \\ &\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{n!(2n+1)} \sum_{k=0}^{2n+1} {{2n+1}\choose{k}} c^{2n+1-k} b^k \left(-\frac{1}{2}a^{-\frac{k+1}{2}} \Gamma\left(\frac{k+1}{2},ax^2\right)\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{a}\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{n!(2n+1)} \sum_{k=0}^{2n+1} {{2n+1}\choose{k}} c^{2n+1-k} \left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^k \Gamma\left(\frac{k+1}{2},ax^2\right) \end{aligned} $$
He utilizado el binomio de expansión para $(bx + c)^{2n+1}$ y $\int x^k \text{e}^{-ax^2}dx = -\frac{1}{2}a^{-\frac{k+1}{2}} \Gamma\left(\frac{k+1}{2} ,ax^2\right)$ donde $\Gamma(,)$ es la función gamma incompleta. Lástima, el último plazo no se puede combinar de nuevo en la forma de un binomio de expansión.
Enfoque #2: en Lugar de la expansión de la función de error, he tratado de escribir en términos de la acumulativa CDF función (Q-Función) como $\text{erf}(x) = 2\Phi(\sqrt{2} x) - 1$. Sin embargo, la siguiente información puede ser demostrado para ser verdad mediante la integración bajo el signo integral con respecto a $\mu$. [La sección 2.4, y ref] $$ \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\lambda x) \text{e}^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}dx =\Phi\left(\frac{\lambda \mu}{\sqrt{1+\lambda^2\sigma^2}}\right) $$
Ahora con algunos cambios de variables y reescalado estamos en lugar interesadas en la siguiente integral: $$ \int\text{e}^{a_1 x^2 + a_2 x} \text{fer}\left(x\right) dx = \underbrace{2\int \text{e}^{a_1 x^2 + a_2 x} \Phi(\sqrt{2} x) dx}_{I} - \underbrace{\int \text{e}^{a_1 x^2 + a_2 x} dx}_{fácil} $$
Sin embargo, lo que no estoy seguro de si puedo usar el truco de la integración bajo el signo integral para la integral indefinida etiquetados I. puedo, con algunos cambios de variables, utilizar el resultado de deducir de la integral definida en el caso como $\Phi\left(\frac{\lambda \mu}{\sqrt{1+\lambda^2\sigma^2}}\right) + C(x)$?
EDIT: parece que el problema en si no tiene la forma cerrada de la solución como se ha señalado por user90369. También, user90369 ha señalado que el siguiente caso más general no tienen la forma cerrada de la solución. $$ \int x^{2n} \text{e}^{-ax^2} \text{fer}(bx+c) dx $$ Me preguntaba, si hay buenas aproximaciones que puedo usar aquí. Bueno, me refiero a la referencia a un error de que el es $|e(x)| \leq 10^{-5} \forall x$. Para el motor de arranque, yo estaba mirando la alta precisión de las aproximaciones en aquí para la función erf. Por desgracia, ninguna de estas aproximaciones resultado en un integrante que hereda una forma cerrada de la solución. Sin embargo, tengo la siguiente propuesta con el uso de la siguiente identidad. $$ \text{fer}(bx+c) = 2 \Phi\left(\sqrt{2} (bx+c)\right) - 1 $$ Esto se traduce en lo siguiente: $$ \begin{aligned} \int\text{e}^{-ax^2 } \text{erf}\left(bx + c\right) dx = 2\int \text{e}^{-ax^2 } \Phi\left(\sqrt{2} (bx+c)\right) dx - \int \text{e}^{-ax^2 } dx \end{aligned} $$ Ahora, uno puede usar la aproximación de las $\Phi$-función de que los resultados de la aplicación de Chernof del obligado. Enlace $$ \Phi(x) \approx \frac{1}{12} \text{e}^{-\frac{x^2}{2}} + \frac{1}{4} \text{e}^{-\frac{2}{3} x^2} $$ Me gustaría hacer una sugerencia de cómo de buena es esta aproximación cuando el cálculo de la integral. O tal vez si hay otros mejores aproximaciones/recomendaciones que se traducen en un manejable integral después.
