$\sigma$-Álgebra generada por topología débil en espacio de Hilbert

Question

En general, si tenemos $H$ espacio de Hilbert y dotado de la topología débil, decir $\tau^\ast$, es $\sigma(\tau^*)=\mathcal{B}$?, donde $\mathcal{B}$ es el habitual Borel $\sigma$-álgebra

Sospecho que es.

Por definición, $\tau^$ es la topología mínima para que los elementos de $H^\prime(=H)$ son continuos. Entonces, $\sigma(\tau^)\subseteq\mathcal{B}$.

Pero para la otra inclusión, ¿tienes alguna sugerencia?

Answer 1

Pista 1: Si $H$ es separable:

Que $(e_i)$ sea una base orthonormal para $H$. $x\in H$ Y $N

¿Lo puede tomar desde aquí?

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Sugerencia 2: Si $H$ no es separable.

Asumir que ${0}\in \sigma(\tau^*)$ y derivar una contradicción.