Definición de inversa en álgebra lineal y abstracta

Question

En un texto de álgebra lineal, la definición de la inversa de una matriz es la siguiente

Un $n\times n$ matriz $A$ es invertible cuando existe un $n \times n$ matriz $B$ tal que $$AB = BA = I_n$$

Y del mismo modo, en un libro de texto de álgebra abstracta, la definición de la inversa de un grupo es

Dado que $G$ es un grupo con la operación $*$ para cada $a \in G$ existe un elemento $a^{-1}$ tal que $$a*a^{-1} = a^{-1}*a = e,$$ donde $e$ es el elemento de identidad en $G$ . Dicho elemento se denomina inverso de $a$ en $G$ .

Desgraciadamente, el segundo semestre de álgebra abstracta no ha terminado debido a la baja matrícula, así que estoy haciendo autoestudio independiente de los temas que me faltan en Álgebra Lineal (como preparación mental). Esta es mi pregunta:

¿Basta con demostrar que $AB = I_n \;\;\implies \;\;B = A^{-1}$ y $A = B^{-1}$ ? ¿O debe comprobar tanto que $AB = I_n$ y $BA = I_n$ a completamente concluir que $A = B^{-1}$ y $B = A^{-1}$ ?

Recuerdo que en un examen tuve que demostrar que para un homomorfismo de grupo $\phi: G\to H$ para cualquier $a \in G$ , $\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1}$ que he demostrado pidiendo al lector que observe que $\phi(a)\phi(a^{-1}) = \phi(aa^{-1}) = \phi(e_G) = e_H$ que porque $\phi(a)\phi(a^{-1}) = e_H$ Esto sólo puede significar que $\phi(a)^{-1} = \phi(a^{-1})$ por la definición de inversa. Y obtuve todos los puntos por ello, pero me deja pensando: ¿se supone que debo comprobar ambas disposiciones para crear el argumento más sólido posible?

Answer 1

Si usted ya saber que $G$ es un grupo, entonces para demostrar que $a$ y $b$ son inversos, basta con comprobar $ab = e$ .

Si $G$ no es un grupo o todavía no sabe que $G$ es un grupo (por ejemplo, si se trata de demostrar que $G$ es un grupo), entonces es no es suficiente para mostrar $ab =e$ . También hay que demostrar que $ba = e$ .

Para matrices sobre un campo, $AB = I$ implica automáticamente que $BA = I$ si $A$ y $B$ son cuadrados. En caso contrario, si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times m$ , donde $m < n$ entonces $BA = I$ es imposible. Esto se puede demostrar con un argumento que utiliza rangos.

Answer 2

Para matrices cuadradas sobre muchos anillos, basta con comprobar que $AB=I$ para concluir $A=B^{-1}$ . Ciertamente es cierto para matrices sobre campos como los números reales o complejos. Puedes leerlo en el enlace Si $AB = I$ entonces $BA = I$

La clase de anillos para la que esto funciona se llama clase de anillos establemente finitos . Es una clase muy amplia de anillos, y mi suposición es que usted está trabajando con un anillo de este tipo.

Pero en la más amplia generalidad, si se trabaja en algún monoide salvaje (como un anillo de doncellas sobre un anillo no establemente finito) el. Viene a ser necesario comprobar tanto $ab$ y $ba$ .

Answer 3

En cualquier grupo (incluidos los grupos de matrices invertibles) basta con comprobar que algo es inverso a la izquierda o a la derecha. Esto es así porque en cualquier grupo, la inversa existe necesariamente (por definición de que algo es un grupo) y es única (ya que $ag=e$ implica $g=a^{-1}e=a^{-1}$ multiplicando a la izquierda por $a^{-1}$ y esto implica $ga=e$ multiplicando a la derecha por $a$ ).

Sin embargo, en una estructura algebraica arbitraria, un inverso derecho y un inverso izquierdo pueden no coincidir.

Answer 4

Para mostrar una inversa tanto de una matriz (¡cuadrada!) como de un elemento del grupo, hay que demostrar que es una inversa tanto a la izquierda como a la derecha. La multiplicación de matrices y las operaciones generales de grupo no son conmutativas.

Para los homomorfismos que envían inversos a inversos, tienes más información, que has empleado.