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Ampliación de álgebra en campo

\newcommand\mee{\mathbin{\text{::}}}\newcommand\moo{\mathbin{\text{#}}} Deje \mathcal U ser la colección de todos los subconjuntos finitos de \mathbb N.

Deje \mee ser una operación binaria definida como: \begin{matrix} \mee:&\mathcal U\times\mathcal U&\to&\mathcal U \\ &(A,B)&\mapsto&A\mee B&\mathrel{:=}\{n\in\mathbb N: n\in A\cup B,\wedge,n\notin A\cap B\} \end{de la matriz} (básicamente \mee es la diferencia simétrica y sabemos que se forme una conmutativa grupo en \mathcal U con módulo de \emptyset)

Deje \moo ser una operación binaria definida como: \begin{matrix} \moo:&\mathcal U\times\mathcal U&\to&\mathcal U \\ &(A,B)&\mapsto&A\moo B \end{de la matriz} Donde n\in A\moo B la concesión de dos condiciones:

  1. n=a+b algunos a\in A y algunos b\in B (necesariamente, pero no lo suficiente), y
  2. si n=a_i+b_i=a_j+b_j para un número de pares de (a,b)\in A\times Bn\notin A\moo B.

Algunos trivial propiedades que no debe ser probado: (\forall A,B,C\in\mathcal U) \begin{align} A\moo B &= B\moo A \\ A\moo\emptyset &= \emptyset \\ A\moo\{0\} &= A \\ \end{align} Un poco menos trivial: \begin{align} (A\moo B)\moo C &= A\moo(B\moo C) \\ A\moo B=A\moo C &\Rightarrow B=C \\ A\moo(B\mee C) &= (A\moo B)\mee(A\moo C) \end{align}

Esto significa que \moo es una propiedad conmutativa del producto que se distribuye de la adición \mee\,. Sin embargo \moo no tiene inversa (a excepción de \{0\} sí).


La pregunta Es allí una manera natural para la construcción de un conjunto \mathcal V con estructuras de \oplus\otimes, con un morfismos \langle\mathcal U,\mee,\moo\rangle\to\langle\mathcal V,\oplus,\otimes\rangle (en el punto en el que podemos identificar a \mee\equiv\oplus,\moo\equiv\otimes,\mathcal U\subset\mathcal V), pero donde \otimes tiene inversa en \mathcal V?

Los intentos de

  1. La definición de \mathcal V como una colección de subconjuntos de a \mathbb Z, la definición de \oplus \otimes de forma similar a como \mee\moo, y habiendo A\in\mathcal U\mapsto B\in\mathcal V\iff A=B (identificación de \mathbb N como un subconjunto de a \mathbb Z).

    El principal problema es que me parecen necesitar conjuntos con infinitos negativos para definir algunos de los inversos, rompiendo la simetría de finito positivos de \mathcal U.

  2. La definición de \mathcal V equivalente clases de \mathcal U\times(\mathcal U\setminus\{\emptyset\}) donde \langle(A,B)\rangle=\langle(C,D)\rangle\iff A\moo D=B\moo C.

    Definimos A\in\mathcal U\mapsto\langle(A,\{0\})\rangle, y definimos \langle(A,B)\rangle\otimes\langle(C,D)\rangle=\langle(A\moo C,B\moo D)\rangle \langle(A,B)\rangle\oplus\langle(C,D)\rangle=\langle(A\moo D\mee B\moo C,B\moo D)\rangle.

    Debemos ser capaces de demostrar que estas operaciones están bien definidos y que son equivalentes a \mee\moo.

4voto

GmonC Puntos 114

Por lo que puedo decir, el mapa \def\U{\mathcal U}\def\Z{\Bbb Z}\U\to(\Z/2\Z)[X]envío A\mapsto\sum_{a\in A}X^a es un isomorfismo de anillos. El campo más pequeño en que (\Z/2\Z)[X] se incrusta su campo de fracciones (\Z/2\Z)(X).

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