Integral

Question

Es necesario calcular la siguiente integral para mi tarea, pero no sé cómo. Si alguien me muestra la solución paso a paso te lo agradeceria. $$\int \frac {1}{\sin^3(x)} dx$$

Answer 1

Hay una respuesta estándar cálculo de primer año. Reescribir el integrando como $\dfrac{\sin x}{\sin^4 x}=\dfrac{\sin x}{(1-\cos^2 x)^2}$. La sustitución $u=\cos x$ nos deja integrar $-\dfrac{1}{(1-u^2)^2}$. Ahora fracciones parciales.

En muchos casos hay procedimientos más eficientes, pero uno puede en principio manejar de esta manera todos $$\int \sin^m x\cos^n x\,dx,$ $ donde $m$ y $n$ son números enteros y por lo menos uno de los $m$ y $n$ es impar.

Answer 2

dx de csc^3(x) integral

Utilizar la fórmula de reducción,

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-cos(x) sin^2(x)^((m-1)/2) csc^(m-1)(x) 2F1(1/2, (m+1)/2, 3/2, cos^2(x)) =-(cos(x) csc^(m-1)(x))/(m-1) + (m-2)/(m-1)-cos(x) sin^2(x)^((m-3)/2) \csc^(m-3)(x) 2F1(1/2, (m-1)/2, 3/2 , cos^2(x)), donde m = 3:

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= 1/2 csc(x) integral dx-1/2 cot(x) csc(x)

La integral de $\csc(x) \,\,\text{is} -\log(\cot(x)+\csc(x)):$ $-1/2 (\cot(x) \csc(x))-1/2 \log(\cot(x)+\csc(x))+$ constante

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Factor de la respuesta de una manera diferente:

Respuesta: $= 1/2 (-\cot(x) \csc(x)-\log(\cot(x)+\csc(x)))+\text{constant}$

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Perdón por el lío.

Answer 3

Sustituir $u=\tan\frac{x}{2}$. Entonces $\frac{x}{2}=\arctan u\Rightarrow x=2\arctan u$. Esto significa además que % $ $$\frac{dx}{du}=\frac{2}{1+u^2}$, $$\sin x=\frac{2u}{u^2+1}$ $, $$\int\frac{1}{\sin^3x}dx=\frac{2}{8}\int\frac{(u^2+1)^2}{u^3}du=\frac{1}{4}\int u+\frac{2}{u}+\frac{1}{u^3}du$ $, que creo que saber cómo resolver.

Lo que he utilizado aquí es la clásica pero siempre útil fórmula del medio ángulo tangente

Answer 4

Hacer el cambio de variables $ \csc(x) = u $, que implica

$$ \int \csc(\theta)^3 d \theta = -\int \frac{{u^2}}{\sqrt{u^2-1}} du \,. $$

Siguiendo con el cambio de variables $ u = \sin(t) $ producciones

$$ -\int \frac{{u^2}}{\sqrt{u^2-1}} du = i \int \sin(t)^2\,dz= \dots. $$

Nota: Puede usar integración por partes para evaluar la integral

$$ -\int \frac{{u^2}}{\sqrt{u^2-1}} du . $$