Prueba de que la función gamma es una extensión de la función factorial

Question

Ya he probado que eso $$\Gamma (n)= (n-1)!$$ but I don´t really know what else to do to verify that $\Gamma$ es una extensión de la función factorial para los números reales (positivo) gracias! Y I´m lo siento por mi lengua, soy español, así que muchas gracias otra vez por tratar de entenderme.

Answer 1

Considerar $$\Gamma (z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z}{dt\over t}.$$ We can rewrite this as $$\Gamma (z)=\int_0^1 e^{-t}t^{z}{dt\over t}+\int_1^\infty e^{-t}t^{z}{dt\over t}.$$ In the first term of this sum we see that the power series representation of $e^{-t}$ converges uniformly which implies that the series can be integrated term by term. So, $$\Gamma (z)=\int0^1\sum{n=0}^\infty {(-1)^n\over n!}t^{z+n}{dt\over t}+\int1^\infty e^{-t}t^{z}{dt\over t}=\sum{n=0}^\infty {(-1)^n\over n!(z+n)}+\int_1^\infty e^{-t}t^{z}{dt\over t}.$$ We can see that the series converges for $z\neq 0, -1,-2,...$ which is a meromorphic function. Its poles are simple poles at the non-positive integers. The residue at $-n$ is $(-1) ^ n n\over! $. La última integral se extiende como una función entera de z. Así $\Gamma (z)$ ha sido analíticamente continuó el entero plano complejo excepto $z\neq0,1,2,...$.

Answer 2

Se trata de un resultado en Ahlfohrs, Análisis Complejo, en realidad el ejercicio 1 en la página 196, que la función factorial puede ser ampliado en cualquier manera que nos gusta a unos no-entero puntos, y toda una holomorphic función puede ser construido para adaptarse a esos puntos. En particular, si el real valorados, podemos hacer cualquier real de la analítica de la extensión que queremos. Así, el hecho de que la función gamma es analítica no es la gran restricción. Es más sencillo:

esta es la única log-convexa de la extensión de la factorial.

http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_convexity

http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr%E2%80%93Mollerup_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function