Usando verde ' teorema s para calcular un área de una región

Question

Quiero usar el teorema de Green para calcular el área de la región delimitada por el $x$-axis y el arco de la cicloide:

$$ x = t- \sin (t),\;\;\; y = 1 - \cos (t),\;\; 0 \leq t \leq 2\pi $$

Así que, básicamente, sé que el radio de esta cicloide es 1. Y para usar el teorema de Green, necesito encontrar $Q$ y $P$.

$$\int_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$

Answer 1

Usted puede tomar $P = y$ y $Q = 0$. Luego, a lo largo del eje de % de $$ \oint\limits_C-ydx = \iint\limits_D dA = \text{Area}(D). $, $x$ $ tiene $y = 0$, por lo que sólo necesitará calcular la integral sobre el arco de la cicloide. Tenga en cuenta que su parametrización del arco es una parametrización de las agujas del reloj, por lo que en el siguiente cálculo, la respuesta será al menos del área: $$\int_0^{2\pi} (\cos(t) - 1)(1 - \cos(t)) dt = - \int_0^{2\pi} 1 - 2\cos(t) + \cos^2(t) dt = -3\pi. $ $

Answer 2

Ya que te piden encontrar el área que corresponde a $ \iint_D dA,$ por lo que necesitará tener la siguiente condición

$$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}=1. $$