Prueba de que $(3^n - 2^n) / n$ no es un entero, $n \geq 2$

Question

Tratando de probar que $(3^n - 2^n)/n$ no es un entero $n\geq 2$.

Trataba de algo a lo largo de las líneas de inducción con:

$3^{n+1} - 2^{n+1} = 2(3^n - 2^n) + 3^n \equiv 0 \mod (n+1)$

Pero que es desordenado...

Answer 1

Que $p$ ser el factor principal más pequeño de $n$y escriba $n = p^k m$ donde $p \nmid m$. Por aplicación repetida del teorema pequeño de Fermat sigue que $3^n - 2^n \equiv 3^m - 2^m \equiv 0 \bmod p$. Si $p = 2, 3$ entonces esto claramente no es posible; de lo contrario, sigue que $\left( \frac{2}{3} \right)^m \equiv 1 \bmod p$, por lo tanto el % que $\gcd(p-1, m) > 1$. Pero esto es imposible ya que los factores primeros de $m$ son todos más grandes que $p$.

Answer 2

Si $$ (3^n−2^n)/n $$ is an integer, then $% $ $n |(3^n−2^n)$$ %, es decir, de la $$3^n−2^n=kn $para algún entero k. $$ 3^n=2^n+kn. $$ If kn is even, then the LHS must be even, so $$2∤n.$ $ $$ 2^n=3^n-kn $$ If 3|kn, then 3 will divide $$2^n$$(the LHS), so $% $ $3∤n.$implica n es co primer a 3 * 2 es decir, (3 * 2, n) = 1. $$3^n−2^n=kn =>3^n≡2^n(mod\ n)=>(3*2^{-1})^n≡1(mod\ n)$$

Si p es el menor primo que divide a n, y $$(3*2^{-1})^n≡1(mod\ p)$ $ si $$ ord_p(3*2^{-1})=D,\ then\ D|(p-1,n).$ $ pero. p es el factor más pequeño de n, n no puede tener ninguÌ n factor > 1 común con p-1 => D = 1 => 3≡2(mod p), es decir, 1|p.

Observación: Si $$ ord_n(3*2^{-1})=d,$ $ entonces el problema se reduce a encontrar d tal que d|n y d|φ(n).

Answer 3

Considero que en primer lugar el caso de que $n \geq 3$ es primo. Utilizando el pequeño Teorema de Fermat, usted debe ser capaz de mostrar $3^{n} - 2^{n} \equiv 1 \text{ (mod }n)$.

EDIT: me retracto lo que dije sobre el caso compuesto. Voy pensando en él.