Definición del functor Diagonal

Question

La diagonal functor $\Delta_C^J:C \to C^J$ y el constante functors $\Delta_C^J(c):J\to C$ definiciones son un poco demasiado generoso y llevar a contradicciones cuando se aplica a $J=0$ (la categoría inicial). Vamos a ver por qué.

De acuerdo a las definiciones que, para cada objeto $c$ en $C$ $\Delta_C^0(c)$ es el único functor $0\to C$. Este functor es, de hecho, vacuously constante.

Esto crea una contradicción entre - por ejemplo - las dos siguientes declaraciones en MacLane'CWM, 2ª ed, cuando se establece $J=0$.

1 - Página 90 de ejercicio 8a :

Si la categoría de $J$ está conectado, $\lim(\Delta_C^J(c))=c$

En efecto: $0$ es vacuously conectado y $\Delta_C^0(c_1)=\Delta_C^0(c_2)$, sin embargo, sus límites son diferentes ( $c_1$ $c_2$ ), para cualquiera de los dos no isomorfos $c_1$ $c_2$ objetos.

2 - Página 71

"un límite del vacío functor a $C$ es el terminal objeto de $C$".

Así que el functor $0\to C$ no siempre tiene un límite, y cuando lo hace, no se sigue de la fórmula $\lim(\Delta_C^J(c))=c$ por encima.

El otro caso extremo ($C=0$) también conducir a la cuestionable definiciones.

Así que creo que la definición de la diagonal functor debe ser limitado a no vacío$J$$C$.

Pregunta: ¿me estoy perdiendo algo? o ¿estás de acuerdo?

Answer 1

Parece que (como Oskar menciona en los comentarios) la correcta noción de "conectado" para una categoría generalmente es una categoría que está habitada (es decir, tiene al menos un objeto) y de tal manera que entre cada par de objetos que hay un zigzag de flechas que conectan a ellos. Es un pequeño descuido en MacLane.

Es un tema recurrente en la categoría de teoría (y topología algebraica), uno tiene que ser cuidadoso acerca de algunas definiciones para asegurarse de que la caja vacía se maneja correctamente. Es lo mismo con los espacios topológicos: un espacio topológico que se suele llamar "conectado" si tiene exactamente dos clopen subespacios, es decir, el conjunto vacío y a sí mismo. Esto evita que el espacio estaba vacío. Dado que es razonable esperar que una categoría es conectado iff su nervio, entonces esto excluye la categoría vacía.

Otro ejemplo para entender por qué el espacio vacío no es a menudo conectados es la siguiente reformulación: "un espacio de $X$ está conectado iff $\operatorname{Map}(X,-)$ conserva co-productos". En otras palabras, los mapas de $X$ a un discontinuo de la unión de $A \sqcup B$ son mapas de $X \to A$ o mapas de $X \to B$. Pero $$\operatorname{Map}(\varnothing, A \sqcup B) = \{\varnothing\} \not\cong \operatorname{Map}(\varnothing,A) \sqcup \operatorname{Map}(\varnothing,B) = \{\varnothing_A, \varnothing_B\}.$$

(Y de hecho ver que mi oración que comienza con "en otras palabras" es un poco ambiguo: un mapa de $\varnothing \to A \sqcup B$ es un mapa de $\varnothing \to A$ o un mapa de $\varnothing \to B$, pero estos dos son el mismo...!)

Exactamente lo mismo sucede con las categorías. También se ha identificado correctamente otra razón por la que el vacío de la categoría no debería ser llamado conectado: el límite del diagrama vacío es, de hecho, siempre la terminal de objeto, si es que existe (esto es correcto), mientras que si $\varnothing$ estaban conectados el límite de la "constante" functor $\varnothing \to \mathcal{C}$ que los mapas de "todo" a$c$$c$.

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PS: Y el hecho de que la identidad de $\varnothing \to \varnothing$ no es constante! Para la (correcta, OMI) definición de una constante mapa de $X \to Y$$\exists y \in Y, \forall x \in X, f(x) = y$. Esto explica por qué la definición de "$X$ es contráctiles iff $\operatorname{id}_X$ es homotópica a una constante mapa" es correcta y se excluye el espacio vacío. (Gracias a Jeremy Rickard por señalar un error en una versión anterior de este párrafo).