No estoy muy seguro de cómo hacerlo. Al negar, sé que los cuantificadores se negarán, lo que significa que$\forall$ se convertiría en$\exists$ y viceversa. También sé que$\leftrightarrow$ se puede escribir, por ejemplo, como$(\lnot a\in C \lor b \in C)\land(\not b \in C \lor a \in C)$. Y esto puede ser negado usando las leyes de De Morgan. Sin embargo, ¿qué pasa con el$\in$ que tendré que negar también? ¿Puedes por favor mostrarme cómo se hace eso?
Respuesta
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$$\lnot(x \in X) \equiv x \notin X$$
$$\lnot\Big((\forall a \in A)(\exists b \in B)(a \in C \leftrightarrow b\in C)\Big)\tag{1}$$
$$\equiv \lnot \Big[(\forall a \in A)(\exists b \in B)\Big((a \notin C \lor b \in C)\land( b \notin C \lor a \in C)\Big)\Big]\tag{2}$$
$$\equiv (\existe un \en A)(\forall b \B) \Big( \lnot(a\noen C \lor b \C) \lor \lnot(b\noen C \lor a\C)\Big)\etiqueta{3}$$
$$ \equiv (\exists a \in A)(\forall b \in B) \Big((a\in C \land b \notin C) \lor (b\in C \land a\notin C)\Big)\tag{4}$$
$(1)$ es la negación de la proposición.
$(2)$ es equivalente a la negada la proposición, como se nota.
$(3)$ Negación se mueve hacia adentro, el cambio de los cuantificadores, respectivamente, finalmente, la negación de la cuantificó la expresión, y se aplica DeMorgan la Regla.
$(4)$ Por DeMorgan.
