¿Cómo mostrar que este anillo $S/A$ no tiene divisores de cero?

Question

Estoy teniendo problemas con otro deberes problema (de Álgebra por Hungerford).

Deje $R$ ser un anillo sin identidad y sin divisores de cero. Deje $S$ ser el anillo cuyo aditivo grupo es $R \times \mathbb{Z}$ con la multiplicación dada por $(r_1,n_1)(r_2,n_2)=(r_1r_2+n_2r_1+n_1r_2,n_1n_2)$. Deje $A=\{(r,n) \in S \mid rx+nx=0 \text{ for all } x \in R\}$.

(a) $A$ es un ideal en el $S$.

(b) $S/A$ tiene una identidad y contiene un sub-anillo isomorfo a $R$.

(c) $S/A$ no tiene divisores de cero.

Yo lo he hecho (a) y (b), pero no he sido capaz de crack (c). He aquí lo que tengo hasta ahora:

(c) Supongamos $((r, n) + A)((s, m) + A) = (0, 0) + A$. A continuación,$(r, n)(s, m) \in A$, lo $(rs + mr + ns)x + (nm)x = 0$ todos los $x \in R$. Pero $(rs + mr + ns)x + (nm)x = rsx + mrx + nsx + nmx = r(sx + mx) + n(sx + mx)$.

Ahora aquí tenemos una expresión que implique $r(something) + n(something)$$s(something) + m(something)$, y quiero decir que si es cero para todos los $x$ $rx + nx = 0$ todos los $x$ o $sx + mx = 0$ todos los $x$, pero todos me parecen ser capaces de decir es que $rx + nx = 0$ todos los $x = sx' + mx'$, lo que no es (o no obviamente) lo que yo quiero.

Agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

Si $(s,m) \in A$ ya ha terminado, así que supongo que no.

A continuación, $sx+mx \neq 0$ para algunos la elección de $x \in R$; denotar el valor resultante de $sx+mx$$t$. Lo que tenemos es que el $rt + nt = 0$, mientras que $0 \neq t \in R$. Queremos deducir que $(r,n) \in A$.

Tenga en cuenta que esta mejor que ser cierto si $S/A$ es no tener cero divisores, ya que la imagen de $t$ (o, más precisamente, $(t,0)$) $S/A$ es distinto de cero, mientras que la imagen de $(r,n)$ $S/A$ multiplica con $t$ dar $0$.

Así podemos reformular el problema como sigue: dado $(r,n) \in S$ $0 \neq t \in R$ tal que $rt + n t = 0,$ demostrar que $rx + nx = 0$ todos los $x \in R$.

Para esto, usted tiene que utilizar la no-cero-propiedad divisor de $R$ (ya que es el que no trivial de la forma en que usted tiene que verificar que un elemento de $R$ es cero).

Aquí están algunas de las más precisas sugerencias:

• Usted quiere a la conclusión de que la $r x + n x $ es cero, y lo que es necesario multiplicar por algo que no sea cero y cero. El único elemento no nulo tiene en la mano es $t$, por lo que tendrá que utilizar.

• Usted encontrará que, molesto, en la ecuación de $r t + n t = 0$, el elemento $t$ está en el lado equivocado del elemento $r$; ver si se puede mover a otro lado, es decir, demostrar que esto es equivalente a $t r + n t = 0,$ que será más útil en la realización de el primer paso.