Cómo probar que $Ax = e^x$ tiene dos soluciones cuando $e < A < \infty$

Question

¿Cómo probar que $Ax = e^x$ tiene dos soluciones cuando $e

Answer 1

Considere la función $f(x)=e^x-Ax$. A continuación,$f(0)=1$. Tenemos $f'(x)=e^x-A$, $f''(x)=e^x$. Como la segunda derivada es siempre positiva, nuestra función es convexa. La derivada tiene un único cero en $x=\log A$, lo $f$ tiene un mínimo en ese punto. Esto significa que $$ f(x)\geq f(\log A)=a-a\log A. $$ Como $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, si el mínimo es negativa, entonces la $f$ tienen dos raíces (y ninguno si el mínimo es positivo).

Asumiendo $A>0$, $A\log A>A$ precisamente al $\log A>1$, es decir,$A>e$.

En conclusión, hemos

1. Dos puntos donde $Ax=e^x$ al $A>e$;
2. Un punto donde $Ax=e^x$ al $A=e$;
3. No hay puntos donde $Ax=e^x$ al $A<e$;

Answer 2

Esto es una prueba que utiliza el teorema del valor intermedate (no conozco una prueba algebraica de este hecho):

Que $g(x)=e^x-Ax$. $g(0)=1$ y $g(1)=e-A

Ya $g$ va aumenta sin limite después de x suficientemente grande, por lo tanto existe M > 1 tal que $g(M)>0$. Por el teorema del valor intermedio, sabemos que existe otra raíz $r_2$ $g$ en el intervalo $]1,M[$

Answer 3

Aquí está uno con cálculo.
Si $f(x)=e^x-Ax$ a continuación:

• $f(0)=1>0.$
• $f(1)=e-A
• $f(e)=e^e-Ae>e^e-e^2>0.$

Ahora utilizar el Teorema del valor intermedio.

Puesto que es diferenciable en $f$ $\mathbb{R}$ y $f'(x)=e^x-A$$f'(x)0 \iff x>\ln A \Rightarrow f(x)=0$ tiene a lo más dos soluciones.