Ángulo de escape de los fotones desde el agujero negro

Question

Consideremos una fuente de fotones que emite fotones cerca de la superficie de un agujero negro de Schwarzschild. A qué ángulo, en función del radio de la fuente desde el horizonte de sucesos, deben emitirse los fotones para que puedan escapar a un observador en el infinito?

Answer 1

En el radio de Schwarzschild, un fotón debe ser emitido exactamente normal a la superficie para poder escapar. A medida que se viaja hacia el exterior, el ángulo de emisión disminuye de tal manera que justo por encima de 1,5 veces el radio de Schwarzschild (es decir, la esfera fotónica) el fotón puede ser emitido paralelamente a la tangente del horizonte y seguir escapando.

Según esta fuente (que también es una buena fuente para todas las cosas divertidas relacionadas con los agujeros negros de Schwarzschild), hay un ángulo de emisión crítico para los fotones de una fuente estacionaria de cierto radio, $R$ del agujero negro. Nótese que esta ecuación técnicamente debería funcionar para radios inferiores al radio de Schwarxschild (el radio del horizonte de sucesos, $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ ), pero dará ángulos negativos porque los fotones no pueden escapar. También hay que tener en cuenta que todos los ángulos se dan en relación con la dirección radial. $\theta=0$ medios dirigidos radialmente hacia fuera y $\theta=\pi$ es radialmente hacia adentro.

Dentro de la esfera de los fotones, $R\le{3\over2}r_s$ los ángulos a los que pueden escapar los fotones vienen dados por: $$\theta\le\arcsin\left[\frac{\sqrt{27}r_s}{2R}\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\right]$$

Fuera de la esfera de los fotones, $R\ge{3\over2}r_s$ los ángulos de escape son: $$\theta\le\pi-\arcsin\left[\frac{\sqrt{27}r_s}{2R}\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\right]$$

Para obtener ángulos correctos, basta con suponer que arcsin siempre da lugar a valores entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ . Observará que para $R=r_s$ , usted encuentra que $\theta=0$ lo que significa que sólo escapan los fotones dirigidos radialmente hacia el exterior. Para $R=\frac{3}{2}r_s$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ como decía mi primer párrafo. Y que un fotón radialmente hacia adentro ( $\theta=\pi$ ) siempre se absorbe (este ángulo se aproxima asintóticamente como $R\to\infty$ ).