Mostrar que $\int_0^1 f(x)g(x)\,dx=0$ % todo $g\in C([0,1])$implica $f=0$ casi en todas partes

Question

Que $f\in L^1([0,1])$ ser una función absolutamente integrable. Demostrar que si satisface a $f$ $$\int_0^1 f(x)g(x)\,dx=0 para toda función continua $g\in C([0,1])$, entonces $f=0$ a.e.

En primer lugar consideremos el caso de que el % es limitada $f$, que $M$ ser un límite de $f$. Note que es denso en $C([0,1])$ $L^{1}([0,1])$, así podemos encontrar una secuencia de funciones continuas $g_n\in C([0,1])$ tal que $|gn-f|{L^1}\to 0$. ¿Entonces la reclamación sigue fácilmente de %#%$ #% no sé cómo mostrar que el caso no limita que $$\int0^1 f^2(x)\,dx=\int{0}^1 f(x)(f(x)-g_n(x))\,dx\leq M|f-gn|{L^1}.$?

Answer 1

La fronteridad de $f$ no es necesario. El hecho de que $C[0,1])$ es denso en $L^1$ implica la existencia de tal secuencia $g_n$ independientemente de las restricciones fronteridad $f.$

Ahora $f$ sí mismo no puede ser cuadrado integrable, pero fijo constante $R>0$ el máximo de $f$ $R$ es. El argumento demuestra que al menos la función de éste es 0 en casi todo el mundo; el carácter arbitrario de $R$ entonces conduce a la conclusión de que $f$ sí mismo es 0 casi por todas partes.

Answer 2

Cualquier fijo $f\in\mathcal{L}^{1}([0,1])$ podemos definir un funcional lineal $\mathscr{l}{f}:C([0,1]) \rightarrow \mathbb{C}$por$$\mathscr{l}{f}(g)= \int{0}^{1}g(x)\, f(x) \, dx$$ It is easy to see that $\mathscr{l}{f}$is bounded, since indeed$$|\mathscr{l}{f}(g)|\leq \int{0}^{1}|g(x)| \, |f(x)| \, dx\leq \sup{x\in[0,1]}|g(x)| \cdot ||f||{\mathcal{L}^{1}([0,1])}$$ yielding $||\mathscr{l}{f}|| {*} \leq || f || $ _{\mathcal{L}^{1}([0,1])}

Por otra parte podemos encontrar una secuencia de funciones continuas aproximar $sgn(f)$, por lo tanto usando el teorema de convergencia dominada podemos realmente demostrar que $$||\mathscr{l}{f}||{*}=||f||_{\mathcal{L}^{1}([0,1])}

Ahora el reclamo dice que $\mathscr{l}{f}(g)=0$% todo$g\in C([0,1])$, pero esto sólo puede suceder si$\mathscr{l}{f}\equiv 0$, es decir, si y sólo si$$||f||{\mathcal{L}^{1}([0,1])}=||\mathscr{l}{f}||_{*} =0$$ i.e iff $f\equiv 0$ almost-everywhere on $[0,1]$