¿Por qué es tan exacta esta aproximación de raíces polinómicas?

Question

Tengo un problema de ingeniería donde tengo que encontrar el más mínimo real positivo de la raíz de un polinomio en $x$: $$Ax^5+Bx^3 - C = 0$$ En lugar de resolver numéricamente, quiero simple aproximados fórmulas ("diseño de ecuaciones") que describen el comportamiento. Para el caso, puedo dividir el problema en dos regímenes:

• Grandes $x$: $\ \ \ \ x^5$ es dominante $\Longrightarrow \ \ Ax^5 \approx C \ \ \Longrightarrow \ \ x \approx \sqrt[5]{C/A} =: x_A$
• Pequeño $x$: $\ \ \ \ x^3$ es dominante $\Longrightarrow \ \ Bx^3 \approx C \ \ \Longrightarrow \ \ x \approx \sqrt[3]{C/B} =: x_B$

Las aproximaciones de trabajo muy por debajo/por encima de un cierto umbral en $x$, pero requieren un feo caso de la distinción. Con el fin de evitar que y tener algo más suave que el de $$x \approx \min\{x_A, x_B\}$$ Traté de Pitágoras al estilo de combinación de los inversos (inspirado por la resistencia en paralelo en los circuitos en ingeniería eléctrica) y se encontró que $$x \aprox 1\Big/ \ \left\|\left(\begin{matrix} 1/x_A \\ 1/x_B \end{de la matriz}\right)\right\|dimm_4 = 1 \Big/ \sqrt[4]{1/x_A^4 + 1/x_B^4}$$ es una muy buena aproximación. Casi perfecta. Que me lleva a mi pregunta: ¿Es posible argumentar por qué 4-norma es de una sorprendente aproximación? ¿Mi inicial polinomio tiene una cierta estructura que explica la alta precisión de mi aproximación?

Ya quiero presentarles/defender esas cosas, se lo agradecería un toque de sofisticación.

Answer 1

La ecuación puede ser reescrita

$$\left(\frac x{x_A}\right)^5+\left(\frac x{x_B}\right)^3-1=0.$$

Con $y=\dfrac x{x_A}$$r=\dfrac{x_A}{x_B}$, un único parámetro sigue:

$$y^5+r^3y^3-1=0.$$

Entonces $$r=\sqrt[3]{\frac{1-y^5}{y^3}}=\frac1y\sqrt[3]{1-y^5},$$ puede ser comparado con su aproximación $$y=\frac1{\sqrt[4]{1+r^4}},$$es decir, $$r=\sqrt[4]{\frac1{y^4}-1}=\frac1y\sqrt[4]{1-y^4}.$$ El acuerdo es, en efecto excelente en un amplio rango [eje de abscisas $y$, coordinar $r$]:

Para las pequeñas $y$, ambos comportamientos son idénticos, $\dfrac1y$. Para $y$ cerca de $1$, los comportamientos son similares, aproximadamente$\sqrt[3]{5(1-y)}$$\sqrt[4]{4(1-y)}$, y una mezcla entre.

El acuerdo se explica por el hecho de que las relaciones funcionales son similares, con el exponente $4$ intermedio entre el $3$ $5$ (pero el valor de $4$ no tiene nada "mágico").