Demostrar que las mediciones $(A)\leq 1$

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to [0,1]$ sea una función continua no decreciente y que $$A:=\{x\in\mathbb R : \exists\quad y>x\:\text{ such that }\:f(y)-f(x)>y-x\}.$$

Ya lo he demostrado:

a) si $(a,b)$ es un intervalo abierto acotado contenido en $A$ y $a,b\not\in A$ entonces $f(b)-f(a)=b-a.$

b) $A$ no contiene ninguna media línea.

Lo que queda es demostrar que la medida de Lebesgue de $A$ es menor o igual que $1$ . He intentado conseguir estimaciones sobre la integral de $\chi_A$ pero no fui más allá de anotar la integral. No estoy seguro de que los puntos a) y b) sean útiles, pero los he anotado para que puedas utilizarlos si quieres.

Gracias a todos.

Answer 1

sugerencia

(c) demostrar que $A$ está abierto

(d) Cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ es la unión de un número contable de intervalos abiertos disjuntos $\amalg (a_i,b_i)$ . La medida de Lebesgue es igual a $\sum (b_i - a_i)$ . Ahora aplique el punto (a) y el hecho de que $f$ es no decreciente.