¿Cómo se detecta si un punto está en un avión?

Question

Digamos que tenemos 3 puntos: (-2,7,4), (-4,5,2), (3,8,5) y queremos ver si es un cuarto punto, (2,6,3), en el plano que los anteriores 3 puntos. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Permita que$(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ y$(x_3, y_3, z_3)$ sean los tres puntos dados, y$(a,b,c)$ sea el cuarto. Un poco de álgebra lineal muestra que$(a,b,c)$ está en el plano si y solo si la siguiente matriz tiene el rango 2 (suponiendo por supuesto que los tres puntos dados no son colineales):

$$ \ left [\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ a-x_1 & b-y_1 & c-z_1 \end {array} \ right] $$

¡Espero que esto ayude!

Answer 2

Deje $x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R}^3$ tres no-puntos colineales. Vamos $n = (x_2-x_1) \times (x_3-x_1)$, $\hat{n} = \frac{1}{\|n\|} n$, y $d = \langle x_1, \hat{n} \rangle$. A continuación, $|\langle x, \hat{n} \rangle -d|$ es la distancia desde el punto de $x$ a que el avión se extendió por $x_1,x_2,x_3 $. Normalmente, usted necesita decidir numéricamente si o no, el punto es que realmente en el avión.

En su caso podemos realizar los cálculos exactamente: $n = (0, -8, 8)^T$, $\hat{n} = \frac{1}{8\sqrt{2}} (0, -8, 8)^T$, $d = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.

Si dejamos $x = (2,6,3)^T$,$\langle x, \hat{n} \rangle = -\frac{3}{\sqrt{2}}$, por lo tanto la distancia al plano = $|-\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}| = 0$, por lo que el punto está en el plano.

De hecho, con un poco más de cálculo, se puede demostrar que los $x = \frac{1}{8} (-11 x_1 + 9 x_2 + 10 x_3)$, y dado que la suma de los coeficientes de $1$, $x$ se encuentra en lo que se conoce como el afín casco de $x_1,x_2,x_3$, que en este caso es el plano que contiene los puntos.

Para completar la conexión, se puede demostrar que los $\langle x-x_1, n \rangle = \det A$ donde $A = \begin{bmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & x - x_1 \end{bmatrix}$. Tenga en cuenta que $A$ es la transpuesta de la matriz de Shaun respuesta. El problema aquí es que usted necesita para escalar por $\frac{1}{\|n\|}$ para obtener una numéricamente significativa respuesta.

Answer 3

Usa los tres puntos dados para encontrar la ecuación del avión,$ax+by+cz=d$. Luego, conecte el cuarto punto y vea si satisface la ecuación.