Encontrar el valor de principio y todos los demás valores de $i^{2/\pi}$

Question

¿Estoy un poco confundida acerca de cómo ir sobre esto? Cualquier ayuda sería apreciada, gracias.

Answer 1

Complejo de exponenciación es un proceso delicado. La forma típica de la definición de complejo de exponenciación $a^b$, donde ambos se $a,b \in \mathbb{C}$, es decir

$$a^b := e^{b\log a}.$$

Pero la función logaritmo no está bien definido. Tiene infinitamente muchas ramas. Al $b$ es un número entero, no importa qué rama elegimos, por lo $a^b$ está bien definido. Al $b$ es racional, hay un número finito de opciones. Al $b$ es irracional, $a^b$ es extremadamente ambiguo y podría representar un número infinito de números basados en la elección del logaritmo.

Recordemos que $\log z = \ln r + i\theta + 2\pi i k$, donde $z = re^{i\theta}$, $k$ es un número entero, y yo uso $\ln (\cdot)$ a representar el real logaritmo. La ambigüedad reside en la elección de $k$. El llamado principal rama es cuando establecemos $k=0$.

Así que aquí, $$i^{2/\pi} = e^{(2/\pi) \log i} = e^ {(2/\pi)(i\pi/2 + 2\pi i k)} = e^ {i}\color{#0000A0}{e^{4 i k}},$$

donde el valor principal surge cuando $k=0$ y el otro (infinitos) los valores de $k \neq 0$, y en el que me indica en azul.

Answer 2

El cálculo es sencillo. Los valores de $z^w$ son todos los posibles valores de $e^{w\log z}$. Así que aquí, desea que los posibles valores de $e^{\frac{2}{\pi}\log i}$.

Ya que se puede escribir $i=e^{\frac{\pi}{2}i}$, los valores de $\log i$ son $(\frac{\pi}{2}+ 2\pi k)i$ % integral $k$. Esto significa que usted tiene lo valores $$ e ^ {\frac {2} {\pi}(\frac{\pi}{2}+ 2\pi k) i} =e^{(1+4k)i}=\boxed{\cos(1+4k) + i\sin(1+4k)} $$ for integral $k$.

El principal valor, obtenido utilizando el valor principal del logaritmo (lo $k=0$), es $$\cos 1 + i\sin 1.$ $

Answer 3

usando $a^b=e^{b\log a}$ y $\log z=\ln |z|+i(arg(z)+2\pi k) \forall k\in \mathbb Z $ tenemos que

$i^{\frac2{\pi}} = e^{\frac2{\pi} \log i} = e^ {\frac2{\pi}(\ln 1+ i(\frac{\pi}{2} + 2\pi k))} = e^ {\frac2{\pi} i(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)}=e^{(1+4k)i}=\cos (1+4k)+i\sin (1+4k) \forall k\in \mathbb Z$

Valor principal se obtiene usando $k=0$, es decir, que es $e^i=\cos 1+i\sin 1$