Existencia de una función satisfactoria dada la ecuación

Question

Examinar la existencia de una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ tal que:

$\forall x \in \mathbb R\ :f(f(x))= x^2 +1$

¿Cómo abordar este tipo de problemas? Estudiar la ecuación funcional de un libro de B.J.Venkatachala pero no sé cómo abordar problemas con una composición de funciones. Necesitan ayuda.

Answer 1

Este es un problema interesante. Este artículo describe el problema en longitud y contiene un buen resultado, que implica, en particular, las siguientes:

Deje $g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ ser definido por $g(x)=ax^2+(b+1)x+c$ y deje $\Delta(g)=b^2-4ac$. A continuación, para cada entero positivo $n$, una solución de $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ $f^n=g$existe si y sólo si $\Delta(g)\leq 1$.

En su caso, se $g(x)=x^2+1$, lo $\Delta(g)=1-4=-3$, y, por tanto, la existencia está garantizada.

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Más lecturas interesantes sobre el tema podría incluir Schröder de la ecuación, o este papel en las soluciones de $f^2=g$ $g$ que no ser inyectiva.