Evaluar $\sum_{n=1}^{99}\sin(n)$

Question

Estoy buscando un truco, o una manera rápida de evaluar la suma $\displaystyle{\sum_{n=1}^{99}\sin(n)}$. Pensé en aplicar una fórmula de suma a producto, pero eso no parece ayudar en la situación. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Pista: calcular $\sum_{n=0}^{99} (\cos(n) + i\sin(n))$.

Answer 2

Al igual que en otras respuestas, puedes hacer esto mediante métodos complejos. Sin embargo, si (como sugiere la etiqueta álgebra precálculo) aún no has encontrado números complejos...

Sea $S$ la suma. Usando una fórmula de "productos a sumas", $$\eqalign{(2\sin{\textstyle\frac{1}{2}})S &=\sum_{n=1}^{99}2\sin n\sin{\textstyle\frac{1}{2}}\cr &=\sum_{n=1}^{99}\bigl(\cos(n-{\textstyle\frac{1}{2}})-\cos(n+{\textstyle\frac{1}{2}})\bigr)\cr &=(\cos{\textstyle\frac{1}{2}}+\cos(1{\textstyle\frac{1}{2}})+\cdots +\cos(98{\textstyle\frac{1}{2}}))\cr &\qquad\qquad{}-(\cos(1{\textstyle\frac{1}{2}})+\cdots +\cos(98{\textstyle\frac{1}{2}})+\cos(99{\textstyle\frac{1}{2}}))\cr &=\cos{\textstyle\frac{1}{2}}-\cos(99{\textstyle\frac{1}{2}})\cr}$$ y por lo tanto $$S=\frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}-\cos(99{\textstyle\frac{1}{2}})}{2\sin{\textstyle\frac{1}{2}}}\ .$$

Comentario. Para respuestas alternativas, puedes seguir la misma idea básica comenzando con $(2\sin1)S$, $(2\cos1)S$, etc.