Prueba de inexistencia de cierta métrica en$S^2$

Question

La proposición: no Hay métrica $d: S^2 \times S^2 \to \mathbb{R}$ compatible con la topología usual tal que $S^2 - \ast$ es isométrico para el plano Euclidiano.

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Mi prueba: [gap] es suficiente para demostrar que no hay métrica $d$ $\overline{\mathbb{C}}$ de manera tal que su restricción de $\mathbb{C}$ es lo habitual en la métrica en la $\mathbb{C}$. Considere la posibilidad de una secuencia convergente $n \mapsto \frac{1}{n}$. Un autohomeomorphism $z \mapsto \frac{1}{z}$ le asigna la secuencia de $n \mapsto n$, que no es de Cauchy en la métrica usual en $\mathbb{C}$, y es por lo tanto divergentes. Esta es una contradicción.

Es esto una prueba de la correcta? Se siente incompleta en algunos lugares, especialmente en la primera frase :)

Answer 1

La prueba es correcta. Aquí están algunas otras posibilidades.

La finitud. Si hubo una métrica en $S^2$ tal que $S^2 \setminus \{ * \}$ $\mathbb{R}^2$ son isométrica, la distancia entre cualquier punto de $S^2 \setminus \{ * \}$ $*$ sería infinito, por la continuidad de la métrica. Pero la distancia entre dos puntos cualesquiera es siempre finito en un espacio métrico.

Compacidad. Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólo si su cierre es compacto. $S^2$ es compacto, por lo $S^2 \setminus \{ * \}$ es totalmente acotado; pero $\mathbb{R}^2$ no es totalmente acotado en virtud de la costumbre métrica.

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También podría ser posible hacer que un argumento basado en la curvatura Gaussiana, pero no es claro para mí que una isometría entre el $\mathbb{R}^2$ $S^2 \setminus \{ * \}$ necesariamente induce una estructura de Riemann sobre todo de $S^2$.