Diferencia de formas cohomólogas de Kähler

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad compacta de Kähler. Demostrar que si dos formas de Kähler $\omega, \omega'$ satisfacer $[\omega]= [\omega'] \in H^2(X,\mathbb R)$ entonces existe una función real $f$ tal que $\omega = \omega' + i \partial \bar \partial f$ .

Mi idea era utilizar que localmente podemos encontrar tal función, es decir $\omega-\omega'= i \partial \bar \partial f$ .

Pero, ¿por qué el lado derecho se extiende globalmente?

Answer 1

Como $[\omega] = [\omega']$ , $\omega = \omega' + d\alpha$ para alguna forma real $\alpha$ . Como $\omega$ y $\omega'$ son reales $(1, 1)$ -forma, por lo que es $d\alpha$ . Además, $d\alpha$ es $d$ -cerrado, pero también es $d$ -exacto, así que por el $\partial\bar{\partial}$ -lemma, $d\alpha$ es $\partial\bar{\partial}$ -exacto. Es decir, existe una función de valor complejo $h$ tal que $d\alpha = \partial\bar{\partial}h$ . Ahora dejemos que $h = ig$ entonces $\partial\bar{\partial}h = i\partial\bar{\partial}g$ . Como $i\partial\bar{\partial}g$ es real, $i\partial\bar{\partial}g = \overline{i\partial\bar{\partial}g} = -i\bar{\partial}\partial\bar{g} = i\partial\bar{\partial}\bar{g}$ Nota: esto no significa necesariamente que la función $g$ es real. En cambio, dejemos que $f = \frac{1}{2}(g + \bar{g})$ entonces tenemos

$$i\partial\bar{\partial}f = \frac{1}{2}(i\partial\bar{\partial}g + i\partial\bar{\partial}\bar{g}) = \frac{1}{2}(i\partial\bar{\partial}g + i\partial\bar{\partial}g) = i\partial\bar{\partial}g = d\alpha = \omega - \omega'.$$

Answer 2

Puede utilizar el $\partial \bar \partial$ lema:

Tenga en cuenta que $\omega - \omega' = d\alpha$ para algunos $1$ -forma $\alpha$ .
Además, $d\alpha$ es cerrado y exacto, por lo que es $\partial \bar \partial $ -exacto.

Así que tenemos que $\omega-\omega'= \partial \bar \partial \beta$ . Pero $\beta$ tiene que ser un $0$ -forma, por lo tanto, una función. Establecer $\beta= i f$ .

$f$ no es necesariamente real; pero podemos simplemente tomar su parte real y la condición exigida se mantiene.
Para más detalles, véase la última frase de la respuesta de Michael Albanese.