Grupo fundamental de la $GL^{+}_n(\mathbb{R})$

Question

Me gustaría saber si el $GL^{+}_n(\mathbb{R})$ el conjunto de todos los invertible matrices con determinante positivo es simplemente conectado o no? Supongo que no es simplemente conectado pero eso es sólo una suposición sólo, no sé cómo voy a demostrar que yo.e cómo demostrar que su grupo fundamental es no trivial.

Bueno, yo puedo demostrar rigurosamente que esto está conectado y hense ruta de acceso conectado como lo es Mentira Grupo. Podría cualquiera rigurosamente dime cómo abordar este tipo de problema y resolverlos a partir de los conocimientos básicos fundamentales de grupo o de alguna otra manera? Así que, básicamente, necesito algún resultado o herramientas por el cual puedo calcular fundamental grupos de todos conocido clásico de la matriz de la Mentira de los grupos.

Answer 1

Las bacterias Gram-Schmidt proceso muestra que el $\text{GL}_n^{+}(\mathbb{R})$ deformación se retrae en $\text{SO}(n)$. Hay una natural haz de fibras

$$\text{SO}(n-1) \to \text{SO}(n) \to S^{n-1}$$

dada teniendo en cuenta la acción de $\text{SO}(n)$ en la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^n$, y el correspondiente tiempo de la secuencia exacta en homotopy muestra que $\pi_1(\text{SO}(n)) \cong \pi_1(\text{SO}(3))$$n \ge 3$. Pero $\text{SO}(3) \cong \mathbb{RP}^3$ grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (o más explícitamente su doble cubierta es $\text{SU}(2) \cong S^3$, que es simplemente conectado), por lo tanto lo hace $\text{SO}(n)$$n \ge 3$, por lo tanto lo hace $\text{GL}_n^{+}(\mathbb{R})$$n \ge 3$. Los casos de $n = 1, 2$ son sencillas.

El doble correspondiente cubre de $\text{SO}(n), n \ge 3$ son los spin grupos.