Integral con funciones delta y cantidades vectoriales

Question

Esta integral proviene de la ecuación (3.15) en una papel más antiguo He estado leyendo: $$ \int \mathrm{d} \Omega_k \, \delta\left(|\vec{k}|^2 - |\vec{k}+\vec{q}_1|^2\right) \delta\left(|\vec{k}|^2 - |\vec{k}-\vec{q}_2|^2\right) . $$ La integración sobre $\Omega_k$ se refiere a las coordenadas angulares del vector $\vec{k}$ . Lo que más me interesa es el caso de las tres dimensiones espaciales, para las que $$ \int \mathrm{d} \Omega_k \to \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \sin \varphi, $$ donde $\theta$ y $\varphi$ son los ángulos azimutal y polar asociados a $\vec{k}$ . El resultado debería depender de las longitudes $|\vec{k}|$ , $|\vec{q}_1|$ y $|\vec{q}_2|$ así como el producto punto $\vec{q}_1\cdot\vec{q}_2$ .

Los autores escriben que la integral es sencilla y no dan un resultado explícito, así que sospecho que me estoy perdiendo algo sencillo. He probado algunas estrategias, como el uso de representaciones integrales para las funciones delta, pero todavía no he encontrado un enfoque elegante.

Answer 1

Esto no es una solución completa (todavía), pero es lo más cerca que he llegado hasta ahora. Sigo pensando que es probable que haya un enfoque más elegante. Utilizaré la convención de que $k = |\vec{k}|$ .

Sistema de coordenadas (tres dimensiones)

Elija un sistema de coordenadas esféricas para $\vec{k}$ tal que $\vec{q}_1$ coincide con el positivo $z$ -y que $\theta$ y $\varphi$ representan los ángulos azimutales y polares asociados a $\vec{k}$ . Entonces, $$ \vec{k} \cdot \vec{q}_1 = k \, q_1 \cos \varphi . $$

Gire el sistema de coordenadas alrededor del eje z hasta que $\vec{q}_2$ se encuentra en el $x>0$ parte de la $x$ - $z$ avión. Sea $\alpha$ representan el ángulo entre $\vec{q}_2$ y el $z$ -eje. Entonces, utilizando la fórmula para a producto punto en coordenadas esféricas ,

$$ \vec{k} \cdot \vec{q}_2 = k \, q_2 \left[ \sin \varphi \sin \alpha \cos \theta + \cos \varphi \cos \alpha \right]. $$

La integral original puede escribirse ahora $$ \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \, \sin \varphi \,\, \delta\left(f(\varphi)\right) \delta\left(g(\theta,\varphi)\right) $$

con

$$ f(\varphi) = 2k \, q_1\cos\varphi + q_1^2 $$

y

$$ g(\theta,\varphi) = 2kq_2 \left[ \sin \varphi \sin \alpha \cos \theta + \cos \varphi \cos \alpha \right] -q_2^2. $$

Evaluando la integral sobre $\varphi$

Utilizando el fórmula sugerido por Calvin Khor, podemos decir que

$$ \delta\left(f(\varphi)\right) \to \frac{\delta(\varphi-\varphi_0)}{2k q_1 |\sin \varphi_0|} $$

con $\varphi_0 = \arccos \left(-q_1 / 2k\right)$ que es válido para $q_1 \le 2k$ . Ahora podemos evaluar la integral sobre $\varphi$ , obteniendo $$ \frac{1}{2kq_1} \int_0^{2\pi} d\theta \, g(\theta,\varphi_0) $$

Si $q_1 > 2k$ la integral se evalúa como $0$ .

Evaluando la integral sobre $\theta$

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