Encontrar el radio de convergencia de la serie de energía $J_{o}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}$

Question

Encontrar el radio de convergencia de la serie de energía $$J{o}(x)= \sum{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}$ $

¿Debo separar esto en el producto de dos límites, es decir, $\frac{(-1)^n}{(n!)^2}$ y $\frac{x^{2n}}{2^{2n}}$ para que el primero obtiene dominado en el denominador por el factorial?

Answer 1

Cuando se busca el radio de convergencia de la serie de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}$, usted tiene que encontrar la mitad del número de valores enteros de a $x$ que haría que la serie convergente. El camino para llegar a esto es comenzar con el test del cociente, el cual establece que una serie de $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ es convergente cuando $ \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert < 1$. $$\lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{x^{2n+2}}{2^{2n+2}(n+1)!^2} * \frac{2^{2n}(n!)^2} {x^{2n}} \right\vert =\lim_{n\to\infty} \left\vert \frac{x^2}{4(n+1)^2} \right\vert =0 < 1 \text{ For all values of $x$} $$ Desde la prueba de razón de los estados que la serie converge siempre que $\lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert < 1$ y en el caso de esta serie, $ \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert = \lim_{n\to\infty} \left\vert \frac{x^2}{4(n+1)^2} \right\vert =0 <1$ para todos los valores de $x$, por lo que la serie es convergente para todos los valores de $x$. Puesto que hay un número infinito de valores enteros de a $x$, y todos ellos hacen de la serie convergente, la mitad de la cantidad de valores que hacen que la serie es convergente todavía infinito. Por lo tanto, el radio de convergencia es $\infty$, lo que hace que el intervalo de convergencia $(-\infty, \infty)$.