Cómo encontrar este límite integral

Question

<blockquote> <p>Encontrar este límite %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Este problema es post mi maestro (tian275461, es muy popular en China), y me dijo la respuesta de este problema es $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\left(\dfrac{\sin{(nx)}}{\sin{x}}\right)^4dx}{n^2}.$, pero no puedo probarlo. Gracias.</p>

Answer 1

¿Puedo asegurar a su integral es igual a $ $$\tag 1 \int_0^\infty\frac{\sin^4 t}{t^3}dt$$ But I have no proof now. Can you show this equals $\log 2? Numéricamente, comprueba hacia fuera.

Un argumento heurístico para $(1)$ cambio $\sin x$ $x$, tomando nota que obtendrá $$\int\limits_0^{\pi /2} {nx{{\left( {\frac{{\sin nx}}{{nx}}} \right)}^4}d\left( {nx} \right) \to \int\limits_0^\infty {\frac{{{{\sin }^4}t}}{{{t^3}}}dt} } $ $

Sería una manera de fortalecer este argumento demostrar que su integral se desvanece sobre cualquier intervalo de $[\delta,\pi/2]$ $n\to\infty$; y luego trabajando localmente en $[0,\delta]$ % pequeño $\delta>0$a hacer afirmaciones precisas. Por supuesto $\delta n\to+\infty$ para conserva $(1)$.