Límite inferior para la probabilidad de cola

Question

Necesito ayuda para demostrar el siguiente límite inferior para la probabilidad de cola. Intenté usar desigualdades bien conocidas como Chebyshev y Paley-Zygmund, pero no puedo obtener el límite requerido.

Permita que$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad, y$X$ sea una variable aleatoria con$\mathbb{P}(X\in [-M,M])=1$ para alguna constante positiva$M$. Muestre que$\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geq \frac{\sigma^2}{4M} \right)\geq \frac{\sigma^2}{8M^2}$, donde$\mu= \mathbb{E}(X)$ y$\sigma^2=\text{Var}(X)$.

Gracias.

Pregunta adicional : ¿Cómo puedo probar que$\mathbb{P}\left(X\geq \mu+ \frac{\sigma^2}{4M} \right)\geq \frac{\sigma^2}{8M^2}$?

Answer 1

La función de $f(t):= \mathbb P(|X-\mu|\ge t)-\frac t{2M}$ es estrictamente decreciente en a $[0,\infty)$ y hemos $f(0)=1$, $f(2M)=-1$. Deje $s=\inf\{t\ge0\mid f(t)\le 0\}$. Entonces $$ \sigma^2 = \int (x\mu)^2 d\mu =\int_0^\infty 2r\mathbb P(|X-\mu|\ge r) dr\\ \le\int_0^s2r\cdot1\,dr+\int_s^{2M}2r\cdot\frac s{2M}dr\\ =s^2+2Ms-\frac{s^3}{2M}. $$ Si $s=0$, entonces esto muestra $\sigma^2=0$ y por lo tanto la afirmación de que queremos mostrar es la trivial declaración de $\mathbb P(|X-\mu|\ge0)\ge0$. Por lo tanto, podemos suponer que $0< s\le 2M$ y la conclusión de $$ \sigma^2\le s^2+2Ms-\frac{s^3}{2M}< 2Ms+2Ms-0=4Ms.$$ Pero, a continuación, $\frac{\sigma^2}{4M}<s$ implica $f\left(\frac{\sigma^2}{4M}\right)>0$, es decir, $$ \mathbb P\left(|X-\mu|\ge \frac{\sigma^2}{4M}\right)>\frac{\sigma^2}{8M^2}.$$ Al parecer, el único caso en que $\le$ canot ser reemplazado con $>$ es el caso de un (casi seguramente) constante la variable.