¿Si es denso para todas las $S_\epsilon$ $\epsilon$, es $S_0$ denso?

Question

Todavía hay una gran parte para ser respondidas.

Deje $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ ser una limitada función, y $S_\epsilon=\{x: f(x) \le \epsilon\}$. Deje $S_\epsilon$ ser denso en $[0,1]$ todos los $\epsilon>0$. De lo anterior se sigue que el $S_0$ es denso en $[0,1]$?

Al principio me preocupaba por al $f$ es Riemann integrable, pero he considerado las siguientes variantes:

Cómo afecta el problema de si $f$ es Riemann integrable, o continua?

Para qué tipo de conjuntos de $A,B$ es si reemplazamos $[0,1], \mathbb{R}$$A,B$?

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Claramente la última pregunta tendrá una dependencia de si $f$ está restringido a ser Riemann integrable, o, de hecho, continua.

El caso continuo es tal vez trivial, si es que voy a ser feliz para editarlo.

Answer 1

Por lo general funciona la respuesta es no: que $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}$ donde $p,q$ forman una fracción reducida y $f(x) = 1$, donde $x$ irracional - esto es casi la función de palomitas de maíz. Claramente $S0=\emptyset$ $S\epsilon$ contiene todas las fracciones irreducibles $p/q$ % grande $q$.

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Para funciones continuas, la respuesta es sí: $S\epsilon$ es denso (por supuesto) y cerrado (ya $f$ es continua), por lo tanto cualquier $S\epsilon = [0,1]$ $\epsilon>0$ y $S0 = \bigcap S\epsilon = [0,1]$.

Answer 2

Para una Riemann integrable función de $f$ la respuesta es sí, con un argumento que es una generalización de la que ya se ha dado por sdcvvc continua de las $f$.

Deje $f$ ser una de Riemann integrable de la función en $[0,1]$. Por el Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann, $f$ debe estar acotada y continua en casi todas partes: el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero, en el sentido de Lebesgue medida. Deje $C$ $D$ denotar el conjunto de puntos de continuidad, respectivamente discontinuidad de $f$$[0,1]$,$D=[0,1]\setminus C$, e $D$ tiene medida de Lebesgue $0$. Esto implica que $C$ es denso en $[0,1]$ (de lo contrario, $D$ debe contener un intervalo abierto y, por tanto, habría positivo de la medida de Lebesgue, una contradicción), por lo que sería suficiente para demostrar que $f(x)\le0$ por cada $x\in C$$C\subseteq S_0$.

Fix $x\in C$. Desde cada una de las $S_\epsilon$ es densa, se puede elegir un punto de $a_n\in S_{\frac1n}\cap(x-\frac1n,x+\frac1n)$. Entonces claramente $a_n\to x$ $f(a_n)\le\frac1n$ y desde $f$ es continua en a $x$ tenemos $f(a_n)\to f(x)$. Pero $\lim_n f(a_n) \le \lim_n \frac1n = 0$, concluyendo que $f(x)\le 0$, lo $x\in S_0$.