Cero punto de fluctuación de un oscilador armónico

Question

En un papel, me encontré con la siguiente definición del punto cero de la fluctuación de nuestro juguete favorito, el oscilador armónico: $$x_{ZPF} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\Omega}} $$ donde m es su masa y $\Omega$ su frecuencia natural. Sin embargo, al intentar derivar con simples argumentos, creo que de la igualdad: $$E = \frac12 \hbar\Omega=\frac12 m \Omega^2 x_{ZPF}^²$$ (el uso de la energía autovalor de la $n=0$ estado) me da:

$$x_{ZPF} = \sqrt{\frac{\hbar}{m\Omega}} $$ diferencia de la anterior por un factor de $\sqrt2$. Estoy sorprendida, es una cuestión de convenciones o es que hay un concepto erróneo en mi (¿demasiado?) ingenuo derivación?

Answer 1

Creo que esta es una combinación de un convenio y un problema físico. Usted está igualando la energía autovalor (es decir, la energía total) a una expresión que contiene sólo $x_{ZPF}$, y no contiene $p$ a todos. En otras palabras, la equiparación de la energía total de un potencial de energía. Esto sería análogo a la equiparación de la $E_\mathrm{total} = \frac{1}{2}kA^2$ encontrar la amplitud de la $A$ clásicas del oscilador armónico. El resultado es que el uso de $x_{ZPF}$ a la media de la "amplitud" de la fluctuación de punto-cero. El verdadero resultado, como Ondrej Cernotik la respuesta de deriva, se utiliza el valor rms $x_{ZPF} = \sqrt{\langle\hat x^2\rangle}$. Así que ese es el sentido en que es una convención.

El sentido en el que es un verdadero problema físico es que la "amplitud" de un oscilador cuántico no es realmente un bien definido, medible cosa. El oscilador cuántico tiene una probabilidad no nula de la amplitud de ir todo el camino hasta el infinito. El valor rms es bien definidos y fáciles de medir. Así que ese es el preferido de definición.

Answer 2

Usted puede encontrar el valor de cero punto fluctuaciones sólo mediante el cálculo de la varianza $\langle(\Delta\hat{x})^2\rangle = \langle\hat{x}^2\rangle$ en el vacío. Usted puede hacer esto ya sea utilizando el $x$-representación o expresión de la $\hat{x}$ operador el uso de los operadores de creación y aniquilación. Estos son generalmente introducido por $$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\Omega}{2\manejadores}}\left(\hat{x}+\frac{\hat{p}}{m\Omega}\right), $$ para que usted obtenga $$ \hat{x} = \sqrt{\frac{\manejadores}{2m\Omega}}(\hat{a}+\hat{a}^\daga). $$ El uso de este para calcular el $\langle\hat{x}^2\rangle = \langle 0|\hat{x}^2|0\rangle$ les da $$x_{ZPF} = \sqrt{\langle\hat{x}^2\rangle} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\Omega}}.$$