Para la primera parte de la pregunta con $Q(n, k, m)$ el número de
ciclos de tamaño $m$ entre las permutaciones de $[n]$ tener $k$ ciclos
obtener la especie
$$\mathfrak{P}_{=k}(\mathfrak{C_{\lt m}}(\mathcal{Z})
+ \mathcal{U}\mathfrak{C_{= m}}(\mathcal{Z})
+ \mathfrak{C_{\gt m}}(\mathcal{Z})).$$
Esto produce que la bivariante de generación de función
$$G(z, u) = \frac{1}{k!}\a la izquierda(\log\frac{1}{1-z}-\frac{z^m}{m}
+ u\frac{z^m}{m}\right)^k.$$
La estadística deseada ha de generación de función
$$\left.\frac{\partial}{\partial u} G(z, u)\right|_{u=1}
\\ = \left. \frac{1}{(k-1)!}\a la izquierda(\log\frac{1}{1-z}-\frac{z^m}{m}
+ u\frac{z^m}{m}\right)^{k-1} \frac{z^m}{m} \right|_{u=1}
\\ = \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1} \frac{z^m}{m}.$$
La extracción de los coeficientes obtenemos
$$n! [z^n] \frac{z^m}{m} \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \frac{n!}{m} [z^{n-m}] \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \frac{n!}{m (n-m)!} (n-m)! [z^{n-m}] \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}.$$
Dividir por ${n\brack k}$ por la expectativa
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{
\frac{n!}{m (n-m)!} {n-m\brack k-1} {n\brack k}^{-1}.}$$
Para la prueba de que estos se suma a $k$ que debe sostener por primera
principios observamos que necesitamos $n-m\ge k-1$ o $n+1-k\ge m$ y
obtener la reclamación
$${n\brack k}^{-1}
\sum_{m=1}^{n+1-k} \frac{n!}{m (n-m)!} {n-m\brack k-1} = k.$$
El FEAG de la suma es
$$\sum_{n\ge k} \frac{w^n}{n!}
\sum_{m=1}^{n+1-k} \frac{n!}{m (n-m)!}
(n-m)! [z^{n-m}] \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \sum_{n\ge k} w^n
\sum_{m=1}^{n+1-k} \frac{1}{m}
[z^{n}] z^m \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}.$$
Ahora podemos extender el interior de la suma de los infinitos términos, porque cuando
$m\gt n+1-k$ tenemos $m+k-1\gt n$ y no hay ninguna contribución a la
$[z^n].$ Tenemos
$$\sum_{n\ge k} w^n
\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m}
[z^{n}] z^m \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \sum_{n\ge k} w^n [z^n]
\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m}
z^m \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \sum_{n\ge k} w^n [z^n]
\frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k}
\\ = \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-w} \right)^{k}.$$
La extracción de los coeficientes encontramos
$${n\brack k}^{-1} n! [w^n] k \frac{1}{k!}
\left(\log\frac{1}{1-w} \right)^{k} =
{n\brack k}^{-1} k {n\brack k} = k$$
como se reivindica. Para comprobar el número dos de la reclamación es
$${n\brack k}^{-1}
\sum_{m=1}^{n+1-k} \frac{n!}{(n-m)!} {n-m\brack k-1} = n.$$
Re-uso de la computación en el primero de los rendimientos
$$\sum_{n\ge k} w^n [z^n]
\sum_{m\ge 1}
z^m \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \sum_{n\ge k} w^n [z^n]
\frac{z}{1-z} \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-z} \right)^{k-1}
\\ = \frac{w}{1-w} \frac{1}{(k-1)!}
\left(\log\frac{1}{1-w} \right)^{k-1}
= w \frac{d}{ps} \frac{1}{k!}
\left(\log\frac{1}{1-w} \right)^{k}.$$
La extracción de los coeficientes encontramos
$${n\brack k}^{-1} n! [w^n] w \frac{d}{ps} \frac{1}{k!}
\left(\log\frac{1}{1-w} \right)^{k}
= {n\brack k}^{-1} n {n\brack k} = n$$
de nuevo como se reivindica. La primera comprobación de validez debe mantener porque cuando nos suma
las expectativas de que el número de ciclos de todos los tamaños posibles nos
debe obtener $k$ ciclos, la cual es constante en el problema. El segundo
debe mantener porque si se suma las longitudes veces el número de ciclos de
todos los tamaños posibles debemos cubrir todos los de $n,$ también una constante aquí.
Estas fórmulas fueron verificadas mediante el ciclo de índice $Z(S_n)$ de la
grupo simétrico con la siguiente secuencia de comandos de Maple que es posible
alrededor de $n=45.$ $n=20$ $k=15$ (permutaciones de
veinte elementos que tengan quince ciclos) para el recuento total de
ciclos de longitudes de uno a seis los valores
$$10995785640, 2640350580, 737990400, 191280600, 39070080, 4651200$$
y por la expectativa encontramos
$$11.28998110, 2.710993931, 0.7577355487, 0.1963983683,
\\ 0.04011541140, 0.004775644215$$
y estas hecho se suma a los quince años.
con(planta);
pet_cycleind_symm :=
proc(n)
opción de recordar;
si n=0 entonces devolver 1; fi;
ampliar(1/n*añadir(a[l]*pet_cycleind_symm(n-l), l=1..n));
end;
Q :=
proc(n, k)
opción de recordar;
local idx, conjclass, cyc, conde;
count := tabla([seq(p=0, q=1..n+1-k)]);
si n=1 entonces
idx : = [[1]]
otra cosa
idx := pet_cycleind_symm(n);
fi;
para conjclass en idx ¿
si grado(conjclass) = k entonces
para cyc en indets(conjclass) ¿
conde[op(1, cyc)] :=
conde[op(1, cyc)]
+ grado(conjclass, cyc)
* lcoeff(conjclass);
od;
fi;
od;
[seq(n!*recuento de[p], p=1..n+1-k)];
end;
QX :=
(n, k), m) - > n!/m/(n-m)! * abs(stirling1(n-m, k-1));
QXS := (n, k) -> [seq(QX(n, k), m), m=1..n+1-k)];
Observación. El anteriormente utilizado la técnica de la aniquilado coeficiente de
extractores (ACE), también conocida como la sustitución de la regla formal
el poder de la serie. Hay varios ejemplos en este MSE enlace
Yo y en este MSE
enlace II y también
aquí en este MSE enlace
III.
