El número de entero algebraico dentro del disco de la unidad

Question

Deje $K$ ser un campo de número (estoy principalmente interesado en el caso de $K=\Bbb Q(\zeta_n)$ es un cyclotomic de campo).

Deje $\alpha$ ser un entero algebraico en $K$. Me gustaría saber

1. si sólo hay un número finito de estos $\alpha$ cuyo valor absoluto es menor que 1.
2. Si es así, ¿hay alguna explícita bound?
3. ¿Y si nos restringimos a la real algebraica de números enteros con valor absoluto menor que 1?

Para 2, si $K=\mathbb{Q}(\zeta_n)$ donde $\zeta_n$ es una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad, entonces hay un límite en términos de $n$?

Answer 1

Aquí supongo que ha corregido una incrustación de$K$ en$\mathbb C$.

Observa que$ \mathcal O_K \subset \mathbb C$ es un subgrupo aditivo de los números complejos que contienen$\mathbb Z$.

Tal subgrupo es discreto si y solo si es igual a$\mathbb Z$ o un enrejado de la forma$\mathbb Z+\alpha \mathbb Z$, lo que ocurre si y solo si$K=\mathbb Q$ o$K$ es un campo cuadrático imaginario .

De lo contrario,$\mathcal O_K\subset \mathbb C$ no es discreto y$0$ es un punto de acumulación, por lo que el disco de la unidad contiene infinitamente muchos elementos de$\mathcal O_K$.

Answer 2

Si $K=\Bbb Q(\zeta_n)$ es cyclotomic, a continuación, a menos que $n=3$

$$\text{rk}_{\Bbb Z}(\mathcal{O}_K^\times)={1\over 2} [K:\Bbb Q] - 1 = {1\over 2}\phi(n) - 1 > 0$$

por lo tanto, hay una unidad de orden infinito. Tome cualquier unidad, $\varepsilon$. A continuación, cualquiera de $\varepsilon\in \Delta$ o $\varepsilon^{-1}\in \Delta$ donde $\Delta$ el (interior de la unidad de disco. Entonces todos $\varepsilon^n\in\Delta$ o $\varepsilon^{-n}\in\Delta$. Para $K=\Bbb Q(\zeta_3)$ no Hay ninguno ya que, a menos de $a=b=0$, tenemos

$$\min_{a,b\in\Bbb Z,\; a^2+b^2>0}|a+b\zeta_3|= a^2+b^2-ab\ge \max\{|a|,|b|\}\ge 1$$

• La primera desigualdad proviene de uso $a^2+b^2>0$ y el AM-GM de la desigualdad, en el caso de que ambos son positivos sólo puede utilizar la $|ab|\ge \max\{|a|,|b|\}$ ya que tanto en valores absolutos son, al menos, $1$ y en el caso de que uno es igual a cero, se obtiene directamente por señalar sólo uno de los cuadrados de restos.

Así que no hay manera de ser un no-cero algebraicas entero dentro de la unidad de disco.